第一章           函数极限与连续

（一）         本章重点（important points）：

1.   了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N与的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。

2.   理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。

3.   无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。

4.   函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good！）。

5.   分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。

（二）         知识点分析（analysis）：

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第一章  函数与极限习题课

一、主要内容

（一）函数的定义

（二）极限的概念

（三）连续的概念

一）函数

1.函数的定义     函数的分类

2.函数的性质     有界、单调、奇偶、周期

3.反函数

4.隐函数

5.基本初等函数

6.复合函数

7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数

（二）极限

1、极限的定义：

单侧极限      极限存在的条件

2、无穷小与无穷大

无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系   无穷小的运算性质

3、极限的性质     四则运算、复合函数的极限

4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;

b.消去零因子法求极限;

c.无穷小因子分出法求极限;

d.利用无穷小运算性质求极限;

e.利用左右极限求分段函数极限；

f.利用等价无穷小；

g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则     夹逼定理、单调有界原理

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高等数学

      多元函数微分法

     及其应用学习总结

一．知识结构图

多元函数微分学：

l  基本概念（区域.定义.极限.连续）

l  偏导数（定义.计算.高阶偏导数）

l  全微分（定义.计算.必要条件.充分条件）

l  多元复合函数导数（链式法则.全导数）

l  隐函数求导法则（一个方程.方程组）

l  多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面）

l  方向导数及其梯度

l  多元函数最值及其求法

二．内容提要

1)     二次极限定义：

     设f（x，y）的区域D内有定义，(,)是D的聚点，若>0，，当点P(x,y)满足||<时，总有成立，则称函数当（x，y）趋向时以A为极限，记作或.

2） 二元函数连续性定义

   设函数在点的某个邻域内有定义，若，则称二元函数在点处连续，点称为的连续点。

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高等数学讲义

目 录

第一章  函数、极限、连续·················································· 1

第二章  一元函数微分学····················································· 24

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极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；等。

定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，

且（1）（2）

（3）   说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）  （2）  ；   

说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

     （2）一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：，，；等等。

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

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第一节 函数

一、求表达式；

（1）已知函数f[g(x)]的表达式，求函数f(x)的表达式。 解：①令u=g(x)，从中反解出x=φ(u),再求出f(u)的表达式，然后将u换为x，可得f(x)；

②将函数f[g(x)]的表达式凑出g(x)的函数关系式，然后将所有g(x)的位置换为x，即得f(x);

自我理解：本人觉得第一种是通用的；第一种运用的是反推，也就是反代转换的意思，相当于原本是乘以了“一个数”，然后反过来解时再除以“这个数”的意思！

（2）已知函数f(x)和f[g(x)]的表达式，求函数g(x) 自我总结：将g(x)代入f(x)得出表达式= f[g(x)]的表达式，得出g(x)

二、函数的简单性质；

1、单调性 2、奇偶性 3、周期性 4、有界性

（1）单调性判定：

①定义判定： x2>x1 , f x2 ?f x1 >0 , 则增

x?f x

2>x1 , f x21 <0 ，则减

②导数判定： f′ x >0 增

f′ x <0 减

第一章 易忘点总结（函数、极限与连续）

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中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续，其中。若存在，当时，有，称为的极大点；若存在，当时，有，称为的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设，则存在，当时，，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。

【证明】设，取，因为，由极限的定义，存在，当时，，于是。

3、极限保号性的应用

【例题1】设，讨论是否是极值点。

【例题2】（1）设，讨论是否是的极值点；

（2）设，讨论是否是的极值点。

【解答】（1）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。

当时，；当时，。

显然不是的极值点。

（2）设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。

当时，；当时，。

显然不是的极值点。

【结论1】设连续函数在处取极值，则或不存在。

【结论2】设可导函数在处取极值，则。

二、一阶中值定理

定理1（罗尔中值定理）设函数满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。

定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。

【注解】

（1）中值定理的等价形式为：

，其中；

，其中。

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