数学极限总结

§2.1数列的极限

定义1 对于数列，如果当无限增大时，通项无限趋近于一个确定的常数A,则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记作 或

若数列没有极限，则称该数列发散。

定义2（定义）  如果数列与常数A有下列关系：对于任意给定的正数(无论它多么小)总存在正整数N,使得对于时的一切,不等式都成立,则称常数A是数列的极限。或称数列收敛于A，记为。

§2.2函数的极限

    定义2（ 定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作 或 。

定义3（定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作 或 。

单侧极限

若函数当自变量从的左侧（右侧）无限趋近于时，相应的函数值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数在处的左(右)极限，记作,或。

表示且；表示且。

定理 的充要条件是

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极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2 LHopital 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是 X趋近 而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死！！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！

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电力电子科学与技术 101班

高等数学论文

极限方法总结

201010107 刘帅 201010110孙力铎2011-5-29

201010113张强

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的

极限严格定义证明，例如：lim

lim(3x?1)?5；limqn??；等等 x?2n??不存在，当|q|?1时? （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B b?0(a,b为常数且a?0)；n??0，当|q|?1时an?

（3）limf(x)A?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，

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极限计算方法总结

靳一东

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

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极限计算方法总结

数学是专接本公共课重要的基础课之一，极限是数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限在专接本公共课数学考试中占13%-20%左右；学的好坏会关系到公共课数学的成绩。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

    

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）             

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首先对极限的总结如下：

　　极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

　　1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

　　2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???)

　　1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

　　(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

　　2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

　　首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

　　必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

　　(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

　　必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

　　必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

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一、极限计算方法总结

1．性质：limf（x）?Ax??的充分必要条件是 ： limx???f（x）?limf（x）?Ax???

2. 极限运算法则

f(x)Alim[f(x)?g(x)]?A?B limf(x)?g(x)?A?B li?,(此时需B?0成立) g(x)B

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1） limx?0sinx?1 x

1

x（2） (1?1)x?e lim(1?x)?e ； limx??x?0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，

sin3x4lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；lim(1?)x?e4。 例如：x??x?0x?0x??3x

4．无穷小

① 有限个无穷小的代数和是无穷小。

② 有限个无穷小的乘积是无穷小。

③ 有界函数（包括常数）与无穷小的乘积是无穷小。

5．等价无穷小

① 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

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极限定义的总结

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量的变化趋势主要有六种：

函数的变化趋势主要有四种：

自变量的描述格式如下：

当时；（）

当时；（）

当时；（）

当时；（）

     当时；（）

     当时；（）

函数的描述格式如下：

  恒时：（）

 恒时：（）

 恒时：（）

  恒时：（）

那么函数极限的定义可以是这种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自变量的变化不连续的特殊情形。

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