数学极限总结

§2.1数列的极限

定义1 对于数列，如果当无限增大时，通项无限趋近于一个确定的常数A,则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记作 或

若数列没有极限，则称该数列发散。

定义2（定义）  如果数列与常数A有下列关系：对于任意给定的正数(无论它多么小)总存在正整数N,使得对于时的一切,不等式都成立,则称常数A是数列的极限。或称数列收敛于A，记为。

§2.2函数的极限

    定义2（ 定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作 或 。

定义3（定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作 或 。

单侧极限

若函数当自变量从的左侧（右侧）无限趋近于时，相应的函数值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数在处的左(右)极限，记作,或。

表示且；表示且。

定理 的充要条件是

§2.3无穷小量与无穷大量

一.无穷小量

定义1  以零为极限的变量称为无穷小量，简称为无穷小。

注：（1）说一个变量是无穷小，要指明自变量的变化过程。

（2）无穷小是变量，表达的是量的变化趋势，而不是量的大小，因此，一个数不管多么小，都不是无穷小。

（3）零是唯一例外的常数中的无穷小。

2．无穷小的运算性质

定理1  有限个无穷小的代数和是无穷小。

注意，无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小。如时，均为无穷小，但

定理2  无穷小与有界量之积是无穷小。

推论1   常数与无穷小之积是无穷小。

推论2   有限个无穷小之积仍是无穷小。

二.无穷大量

定义2  若当时，函数的绝对值无限增大，则称为当时的无穷大量，简称无穷大，记为。

若当时，函数，且绝对值无限增大，则称为当时的负无穷大量，记为。

类似可以理解，，，等表达式的意义。

注：（1）说函数是无穷大，也要指明自变量的变化过程。

（2）无穷大也是变量，无论多么大的数都不是无穷大。

（3）无穷大必无界，但反之不真，例如，，当时是无界的，但不是无穷大。

一、       无穷大与无穷小的关系

定理  在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，恒不为零的无穷小的倒数是无穷大。

定义设是同一变化过程中的无穷小量，且：

若，称是比高阶的无穷小量，记作；

若，称是比低阶的无穷小量；

若，称与是同阶无穷小量；

特别地，当时，称与是等价无穷小量，记作

若，称是关于的阶无穷小量。

定理（等价无穷小的替换定理）若，且存在，则=。

证：=。

 §2.4极限的性质

一、  极限的性质

1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且其子数列的极限与原数列的相等；

　　2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。

　　3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)。

　　4.改变数列的有限项，不改变数列的极限

二、  极限的四则运算

定理   如果及存在，并且，则

法则（1）  存在，且

法则（2）  存在，且

。

推论1     （C为任意常数）。

推论2   。

法则（3）  当时，存在，且

§2.5函数的极限性

定义  设函数在点的某邻域有定义，如果，则称函数在点是连续的。

函数在一点连续，必须同时满足以下三个条件：

（1）函数在点处有定义；

（2）存在；

（3）。

若以上条件有一个不满足，则称函数在间断，称为函数的间断点。

函数的间断点分为两类：左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点。

初等函数的连续性

1.       基本初等函数在其定义域内连续；

2.       一切初等函数在其定义区间内连续。

闭区间上连续函数的性质

1最值性  闭区间上连续函数在该区间上一定取得最大值与最小值。

2 有界性  闭区间上的连续函数一定有界。

3介值性  闭区间上的连续函数，对介于最大、最小之间的任意常数，在该区间内至少有一点，使其函数值等于该常数。

4 零值定理常用于证明方程实根的存在性。

 

第二篇：高等数学B上册 求极限方法总结

求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限

【说明】表明x与1无限接近，但，所以这一零因子可以约去。

【解】==4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限

【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?

【解】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

                                        0   m>n

?   （2）      m<n

           m=n

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限??

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】

例4：求极限

【解】=

==    

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

  两个重要的极限（1）

                （2）

     

     在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

例5：求极限

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+，最后凑指数部分。

【解】=

补：求下列函数的极限

(1)

(2)（2）

                                                                                                                             

5.利用无穷小量的性质求极限

   无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果，在某区间有界，则。这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例6：求

【解】因为    

      所以=0

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

  当时,，

  ~，

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。

(3) 此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例7：

【解】 

例8：求极限?

【解】=

7.利用函数的连续性求极限

        这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。==

也就说，极限号与可以互换顺序。

例9：求

【解】令

因为在点处连续

     所以

         =

         =

         =1

8．用洛必达法则求极限

     洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在等于A时，那么存在且等于A。如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。

例10：求极限

【解】

        =

        =?

        =3

9.用对数恒等式求极限

例11：求极限

【解】==

【注】对于型未定义式，也可以用公式

             

因为

     

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有且，则有.

     利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。

例12：

     求的极限。

【解】因为单调递减，所以存在最大项和最小项

        

        

              

        又因为

            所以

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

     利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的

通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。

   

          证明：从这个数列看显然是增加的。用归纳法可证。

              又因为

              所以得.因为前面证明是单调增加的。

                       两端除以得

                因为则，从而

                        

              即是有界的。根据定理有极限且极限唯一。

                    令则

               则，因为>0.解方程得

                       所以

     本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。