关于求极限方法总结

目录

关于求极限方法总结... 1

1.     初等数学方法求极限... 2

2.     等价无穷小求极限... 2

3.     洛必达法则求极限... 2

4.     连续性求极限... 2

5.     变量代换求极限... 3

6.     海涅定理求极限... 3

7.     中值定理求极限... 3

8.     化为定积分求极限... 3

9.     极限存在法则求极限... 4

10.        斯特林公式求极限... 4

11.        运用级数求极限... 4

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求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限

【说明】表明x与1无限接近，但，所以这一零因子可以约去。

【解】==4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限

【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?

【解】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

                                        0   m>n

?   （2）      m<n

           m=n

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一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

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部分规律小结

1 带根式的分式或简单根式加减法求极限：

a根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂∶将未知数全部化到分子或分母的位置上）

b分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式 2 分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3 等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4 分母是乘积分子是相同常数的 n 项的和求极限：列项求和。

5 分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6 运用重要极限求极限（基本）。

7 乘除法中用等价无穷小量求极限。

8 函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9 常数比 0 型求极限：先求倒数的极限。

10 根号套根号型：约分，注意别约错了。

11 三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将 sin 化 cos 。

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求数列极限的方法总结

数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **

指导教师   ****

摘　要　数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词   数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.

例1: 按定义证明.

解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n

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高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设，

（i）若A，则有，使得当时，；

（ii）若有使得当时，。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

 （i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

 （ii）

 (iii)

 (iv)单调有界准则

（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

 （vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。

2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

洛必达法则（定理）

设函数f(x）和F(x）满足下列条件：

⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;

⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大

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1．定义：

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；

     （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限
　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则

定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有  （1）

（2）

（3）

     说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

　　

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

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宁波大红鹰学院学生数学课程论文

高等数学中求极限的方法小结

2.求极限的常用方法

2.1 利用等价无穷小求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).

设?~??、?~??且lim[3]????lim；则：?与?是等价无穷小的充分必要条件为：??

????0(?)．

常用等价无穷小：当变量x?0时，

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?

x)~x,1?cosx~12x,2~x,(1?x)??1~?x．

例1 求limx?01?cosx． xarctanx

解 ?x?0时,1?cosx~12x,arctanx~x， 2

12x1 故，原式?lim2? x?0x2

例2 求lim(1?x)?1． x?0cosx?1

1

23123解 ?x?0时,(1?x)?1~121x,1?cosx~x2,因此: 32

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