课例：“基本不等式”的教学与反思

一、背景分析

本课例内容是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修5（A版）第三章第四节《基本不等式》；也是基于四校联谊活动开出的公开课，课例先由我校备课组设计、再组织评课议课、最后专家点评，共同探讨新课标的理念如何在教学中实施。

二、设计理念

本课例旨在用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。力图创设出一种让学生容易介入的自由的对话教学情境中，由问题产生思辩，在思辩中形成知识与新问题。

三、教材分析

1、 教材内容分析

本课是探究基本不等式的形成过程，进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到。就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

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对《基本不等式及应用》的教学反思：

这节课我是按如下流程进行教学的：一、创设情景，提出问题；以北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这个图中找出一些相等关系或不等关系。本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出基本不等式不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。[问] 你能给出它的证明吗？三、归纳总结：基本不等式。四、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？五、探究归纳；例（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

对于这样设计，我是这样认为的：基本不等式较抽象，所以从生活事例——大会徽标出发，让学生从感性认识到理性概括，从而让学生顺理成章的获得了基本不等式，从而更好地理解基本不等式。例题的选取是生活中的小事例，让学生很快就进入了会用基本不等式解决实际生活问题，从而激发兴趣，符合课改精神，让数学贴近生活。

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<<基本不等式>>课时一的教学反思

 钟圣弟

一、教学流程：1、课题导入

从在北京召开的第24界国际数学家大会的会标上，（会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的)让学生在这个图案中找出一些相等关系或不等关系。

2.讲授新课

（1）问题探究——探究图形中的不等关系。

（2）．思考证明：你能给出它的证明吗？

利用不等式性质或作差法证明

（3）。特别的，如果,我们用分别代替，可得，并让学生思考证明。

（4）理解基本不等式的几何意义

探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=,BC=。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

得出结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

3、应用举例

例1  设，给出下列不等式：

(1) ；

(2) .

其中恒成立的是        。

通过分析得出：基本不等式的适用范围：一正二定三相等。

例2、（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？

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基本不等式(一)的教学反思

数学组  文秀锦

本学期的开放周，我被安排上一节公开课。由于组长早在期中考试之前就已经告诉我，让我上一节课了，所以我这次的准备应该说是很充分的，但是在上课过程中还是出现了一些问题。下面我就这节课进行一些分析和反思。

我上的课是人教A版必修5第三章第四节第一个课时的内容：基本不等式：。教学思路是：第一，情境引入。课件上投影出北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让学生观察会标，并提出问题：你能从会标中找到一些相等或不等关系吗？从而引人新课。第二，探索新知。（1）引导学生发现并归纳出重要不等式：，还要给出不等式的证明，用作差法证明。强调注意等号成立的条件：a=b时。（2）由重要不等式引出基本不等式：（a>0,b>0），强调a,b均为正数。然后给出基本不等式的证明，分析法，并说明基本不等式的几何意义。（3）比较两个不等式的异同。第三，知识应用。这里我给出了一个例题及两个习题，并且将习题2进行变式。在讲解例题的时候，引导学生归纳出用基本不等式求两数的最值时应注意的三个条件：一正、二定、三相等，缺一不可。第四，归纳小结，布置作业。

以上是我对本节课的教学设计，是在查阅了一些资料和请教了一些老教师的意见后，根据我所教的班级是文科普通班来进行设计的，容量和难度都比较符合学生的实际情况。但是在上课的过程中，存在着以下几个问题：（1）在两个不等式的证明上讲得太过于简单，一带而过，也没有给学生总结出证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法等。这样学生以后再碰到不等式的证明时，可能还是会显得无从下手，特别是我们文科普通班。（2）习题的选择还应补充一个，是当等号不成立时，也取不到最值。（3）我的讲解语言还不够精炼，可能也不够明白，有时候看到学生两眼迷茫的看着我。

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基本不等式(一)的教学反思

高一数学  陈杰

本周上了《基本不等式》的公开课，应该说这次准备还是很充分的，但是在上课过程中还是出现了一些问题。下面我就这节课进行一些分析和反思。

我上的课是人教A版必修5第三章第四节第一个课时的内容：基本不等式：。教学思路是：第一，情境引入。课件上投影出北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让学生观察会标，并提出问题：你能从会标中找到一些相等或不等关系吗？从而引人新课。第二，探索新知。（1）引导学生发现并归纳出重要不等式：，还要给出不等式的证明，用作差法证明。强调注意等号成立的条件：a=b时。（2）由重要不等式引出基本不等式：（a>0,b>0），强调a,b均为正数。然后给出基本不等式的证明，分析法，并说明基本不等式的几何意义。（3）比较两个不等式的异同。第三，知识应用。这里我给出了一个例题及两个习题，在讲解例题时，引出了“积定和最小”以及“和定积最大”。在讲解例题的时候，引导学生归纳出用基本不等式求两数的最值时。第四，归纳小结，布置作业。

以上是我对本节课的教学设计，是在查阅了一些资料和请教了一些老教师的意见后，根据学生的情况来进行设计的。但是在上课的过程中，存在着以下几个问题：（1）在引课的过程中，应该让学生自己动手折纸，进而发现规律。（2）在两个不等式的证明上讲得太快，一带而过，也没有给学生总结出证明不等式的一般方法：作差法，分析法，综合法等。这样学生以后再碰到不等式的证明时，可能还是会显得无从下手。（2）对于例题和练习题的选择也存在问题，这是基本不等式的第一课时，应该着重讲解基本不等式的练习，以及基本不等式使用的条件，而例题中给出求最值得问题应该放在第二课时。（4）我的讲解语言还不够精炼，可能也不够明白，有时候看到学生两眼迷茫的看着我。

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基本不等式的教学反思

基本不等式第一课时，本节课的重点是应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程，难点是基本不等式等号成立的条件。我的教学设计是这样的：

首先，列出两种不等式：

定理1．如果

定理2：如果a,b是正数，那么

??我们称的算术平均数，称的几何平均数?

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数．“当且仅当”的含义是充要条件．

均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”．

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b．过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立．

接下来，按照教材的编写，进行探究：画图----在北京召开的第24届国际数学家大会的会标像是一个“风车”，引导学生从图中找出一些相等关系或不等关系.通过观察、推导、比较，最后得出结论： 当且仅当 时，等号成立。

其次，从图形的面积关系和不等式的性质推导两个方面来认识并证明基本不等式。

最后是运用基本不等式解决两类问题：

1证明：示例1、已知a、b是正数，且＋＝1(x，y∈R_＋，求证：x＋y≥(＋)².

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“基本不等式”教学反思

周开芹

根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

因此我在本节课的设计中通过动画和图形的演示，让学生看到基本不等式的几何意义，直观生动。也从代数证明和几何证明两方面说明基本不等式的正确性。由于要求学生在课前预习，并辅以多媒体，所以整个引入过程比较快。

在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

我设计从例一入手，第一小题就能说明“积定和最小”，第二小题说明“和定积最大”。通过这道例题的讲解，让学生理解“一正二定三等”。然后再利用这六字方针就最值。这是再讲解例二，让学生熟悉用基本不等式解题的步骤。然后让学生自己解题。

巩固练习中设计了判断题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

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在这次远程培训学习中，我进行了认真的学习。特别是现在所带高二年级正在学习必修五，所以我认真观看了相关视频，感觉收获颇丰。学习后我就把这次所学的内容应用到实际教学中去，对“基本不等式和应用”这一节进行了教学，应该说进行过学习后我课前准备还是比较充分的，效果也不错，下面我就对这节课进行一些分析和反思。

这节课的教学流程是：一、情境引入。上课前在黑板上画出北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标中小三角形的两个边用x，y表示，在课上让学生观察会标，并提出问题：你能从会标中找到一些不等关系吗？学生各抒己见，由此引入新课。二、新知探究。1.通过引入时学生的回答引导学生发现并归纳出重要不等式：，让学生通过把图形进行变化得到等号成立的条件：当且仅当时，并进行强调。然后引导学生用作差法给出此不等式的证明。2.在重要不等式中让学生进行代换：得到基本不等式：，，非负数，强调以后讨论并运用基本不等式时，均为正数。然后与学生一起探讨出基本不等式的证明，可以作差进行证明，也可以利用其几何意义说明，并让学生明白其几何意义：半径不小于半弦。并对相关概念对学生进行说明。3.通过课本具体实例，让学生理解基本不等式的应用：求最值。并和学生共同总结出：积定和最小，和定积最大。并会应用。三、应用示例。在这里我首先以课本92面的练习第二题为例，通过自己写出过程，让学生判断正误，以此强调在利用基本不等式时应注意：一正、二定、三相等，三个条件缺一不可。然后再通过一个例子让学生自己动手教师总结出在利用基本不等式求最值时要用到凑积或凑合为定值这种方法，同时还要注意解题过程的书写。最后让学生通过课本练习进一步熟练应用基本不等式以达到巩固的目的。四、归纳小结，布置作业。

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