不等式总结
一、不等式的主要性质:
(1)对称性: (2)传递性:
(3)加法法则:;
(4)乘法法则:;
(5)倒数法则:
(6)乘方法则:
(7)开方法则:
二、一元二次不等式和及其解法
注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间
三、均值不等式
1.均值不等式:如果a,b是正数,那么
2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数),即
(当a = b时取等)
四、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:是指数轴上点到原点的距离;是指数轴上两点间的距离
2、
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第三章:不等式
1、不等式的基本性质
①(对称性) ②(传递性) ③(可加性)
(同向可加性) (异向可减性)
④(可积性)
⑤(同向正数可乘性) (异向正数可除性)
⑥(平方法则) ⑦(开方法则)
⑧(倒数法则)
2、几个重要不等式
①,(当且仅当时取号). 变形公式:
②(基本不等式) ,(当且仅当时取到等号).
变形公式: 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③(三个正数的算术—几何平均不等式)(当且仅当时取到等号).
④(当且仅当时取到等号).
⑤(当且仅当时取到等号).
⑥(当仅当a=b时取等号)(当仅当a=b时取等号)
⑦其中规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小.
⑧
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不等式和不等式组
不等式的解集
用数轴表示不等式的解集
解一元一次不等式
一元一次不等式的应用
(1) 由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2) 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不
等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3) 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解
第三节 一元一次不等式组
(1) 一元一次不等式组的定义:
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
(2) 概念解析 形式上和方程组类似,就是用大括号将几个不等式合起来,就组成一个一元一次不等式组.但
与方程组也有区别,在方程组中有几元一般就有几个方程,而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个
解一元一次不等式组
由实际问题抽象出一元一次不等式组
一元一次不等式组的应用
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常见不等式的解法
(一)一元一次不等式
1、定义:
用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式
2.一元一次不等式的解集
将不等式化为ax>b的形式
(1)若a>0,则解集为x>b/a
(2)若a<0,则解集为x<b/a
(二)一元二次不等式的解法
1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式.
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
(三)含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值)
1、利用绝对值的定义:(零点分段法)
2、利用绝对值的几何意义:表示到原点的距离
公式法:,与型的不等式的解法.
(四)分式不等式的解法
1)标准化:移项通分化为(或);(或)的形式,
2)转化为整式不等式(组)
(五)指数、对数不等式的解法
①当时
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基本不等式知识点总结
向量不等式:
【注意】:同向或有;
反向或有;
不共线.(这些和实数集中类似)
代数不等式:
同号或有;
异号或有.
绝对值不等式:
双向不等式:
(左边当时取得等号,右边当时取得等号.)
放缩不等式:
①,则.
【说明】:(,糖水的浓度问题).
【拓展】:.
②,,则;
③,;
④,.
⑤,.
函数图象及性质
(1)函数图象如图:
(2)函数性质:
①值域:;
②单调递增区间:,;单调递减区间:,.
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式:(当且仅当时取到“”).
【变形】:①(当a = b时,)
【注意】: ,
2、均值不等式:
两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均”
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新课标——回归教材
不等式
1、不等式的性质:
注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.
典例:1)对于实数中,给出下列命题:①;②;
③;④;⑤;
⑥;⑦;⑧.
其中正确的命题是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知,,则的取值范围是;
3)已知,且则的取值范围是.
2、不等式大小比较的常用方法:
(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;
(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)设,比较的大小
答案:①当时, (在时取“=”);
②当时,(在时取“=”);
2)已知,试比较的大小.( 答:)
3)设,,,试比较的大小(答:);
4)比较1+与的大小.
答:当或时,1+>;
当时,1+<;当时,1+=
5)若,且,比较的大小.(答:)
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《不等式》知识点
一、不等式及其解法:
1.一元二次不等式: 化标准式(即二次项系数为正)“大于取两边,小于取中间”
如:解不等式(1); (2)
解:(1)原不等式等价于 , 方程的根为,
故解集为.
(2)原不等式等价于, 方程的根为,,
故解集为.
2.高次不等式:“穿根法”. 化标准式(即每一项的系数为都为正)穿根
(从右上方出发,依次穿过每个根,如遇“重根”,奇穿偶回)
如:解不等式(1); (2); (3)
解:(1)解集为; (2)解集为; (3)解集为
3.分式不等式:移项通分.
如:解不等式. 解:移项后,通分后,化标准式为,故解集为
4.绝对值不等式:的解集为; 的解集为
二、1.重要不等式:,当且仅当时,等号成立
变形: 应用:为定值时,求的最大值.
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数学必修5知识总结之不等式
一、不等式及性质
1、不等式比较大小①;②; ③.
2、不等式的性质:①; ②; ③;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
二、一元二次不等式
1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式.
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
三、二元一次不等式
1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式.
2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对,所有这样的有序数对构成的集合.
4、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
5、在平面直角坐标系中,已知直线.
①若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域.
②若,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域.
③目标函数为求的最值,需要转化成的形式
④目标函数为求的最值,需要转化成有效区域内一点及平面内一点所在直线的斜率的形式
⑤目标函数为的形式求的最值,需要转化成有效区域内一点及平面内一点这两点间的距离。
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