《不等式》知识点

一、不等式及其解法：

1．一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正）“大于取两边，小于取中间”

如：解不等式（1）；              （2）

解：（1）原不等式等价于 ， 方程的根为，

故解集为.

（2）原不等式等价于， 方程的根为，，

故解集为.

2．高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的系数为都为正）穿根

（从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）

如：解不等式（1）； （2）；  （3）

 

解：（1）解集为； （2）解集为；  （3）解集为

3．分式不等式：移项通分.

如：解不等式. 解：移项后，通分后，化标准式为，故解集为

4．绝对值不等式：的解集为；  的解集为

二、1．重要不等式：,当且仅当时，等号成立

      变形：     应用：为定值时，求的最大值.

2．基本不等式：当且仅当时，等号成立

 变形一：   应用：为定值时，求的最小值.

变形二：   应用：为定值时，求的最大值.

注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.

三、线性规划问题

1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.

2.相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.

3.目标函数常见类型：

（1）求线性目标函数的最值时，先令，画出直线：，

①若，则向上平移，变大，向下平移，变小；②若，则向上平移，变小，向下平移，变大

（2）“斜率型”目标函数，表示可行域内动点与定点连线的斜率.

（3）“距离型”目标函数，表示可行域内动点到定点 的距离的平方.

 

第二篇：高中数学人教版 必修五 不等式 知识点最完全精炼总结

 

 

4.公式：

3.解不等式

(1)一元一次不等式

(2)一元二次不等式：

一元二次不等式的求解流程：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

(3)解分式不等式：

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0

（2）x² –(a+a²)x+a³>0；

                （3）2x² +ax +2 > 0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

例1．已知关于x的不等式                                     

   在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．

例2．关于x的不等式
 对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、

     函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

二次方程根的分布问题的讨论：

4．k1 < x1 < x2 < k2            5．x1 < k1 < k2 < x2

 

                  

 

6．  k1 <x1 < k2 < x2< k3 

4解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；

第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

 

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

 

4.求函数                  的最小值.

 

5.已知两个正数     满足          求使

 恒成立的   的取值范围.