必修五：不等式

知识点一：不等式关系与不等式

【习题训练】

1. 下列命题中正确命题的个数是（    ）

①若，则；②，，，则；

③若，则；④若，则．

A．                             B．                   C．                                 D．

2.用“”“”号填空：如果，那么________．

3．已知，则2a+3b的取值范围是（    ）

A     B    C      D  

二、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的距离

2、解含有绝对值不等式的主要方法：

（1）公式法：，或．

（2）定义法：零点分段法；   （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．

【典型例题】

1.不等式的解集为（     ）（运用公式法）

A．    B．   C．    D． 

2. 求解不等式：．（运用零点分段发）

3.函数的最小值为（     ） （零点分段法） 

 A．    B．      C．     D．

【习题训练】

1.解不等式

2.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。

例1 .不等式的解集是____________.

例2. 解不等式            例3. 解关于x的不等式

例4. 不等式≥的解集是（    ）

≤≤≤  ≤    ≤≤

三、不等式证明的几种常用方法

  比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

【典型例题】

1.若或，，，则与的大小关系是（    ）

A．                   B．                     C．                   D．

2.若，则, , , 按由小到大的顺序排列为      

3.若a＝，b＝，c＝则a，b，c按从小到大排列应是________．

4.设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a、b、c之间的大小关系为________．

5.下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（    ）

A．      B．       C．       D．

6. 若、是任意实数，且，则（    ）

A．                    B．           C．         D．

四、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿

例题：不等式的解为（    ）

A．－1<x≤1或x≥2         B．x<－3或1≤x≤2  

C．x=4或－3<x≤1或x≥2                              D．x=4或x<－3或1≤x≤2

知识点二：一元二次不等式及其解法

二、一元二次不等式和及其解法

顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

分式不等式                ,分式不等式                .

【典型例题】

1.设二次不等式的解集为,则ab的值为(    )

A.-6              B.-5                C.6                   D.5

2.已知函数,若x的取值范围是全体实数,则实数a的取值范围是(    )

A.           B.             C.              D.

3.若不等式的解集为,则(    )

A.  B.  C.  D.

4.若关于实数x的方程有一正根和一负根,则实数a的取值范围是             .

5 :解关于x的不等式.

6. 已知不等式的解集为,求不等式的解集.

7.不等式|x2－3x|＞4的解集是________

【提高训练】

1.设集合,则下列关系中成立的是(    )

A.            B.         C.             D.

2.不等式的解集是(    )

A.      B.         C.         D.

 4. 关于实数x的方程有两个正根,则实数m的取值范围是         .

【习题训练】

1．设f(x)=x²+bx+1，且f(－1)=f(3)，则f(x)>0的解集是（        ）

A．               B．R

C．｛ｘ｜ｘ≠1｝                    D．｛ｘ｜ｘ＝1

2．若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（    ）

A   a≤-或a≥     B   a＜      C -≤a≤        D  a≥  

3．不等式组的解集为（     ）

A．（0，）    B．（，2）    C．（，4）      D．（2，4）

4．关于x的方程x²+ax+a²-1=0有一正根和一负根，则a的取值范围是           ．

5．不等式（x-2）≥0的解集为________________．

知识点三：简单的线性规划

1、一元一次不等式与线性规划

(1)  ①若，，则点在直线的上方．

    ②若，，则点在直线的下方．

(2)线性规划：

【典型例题】

1．已知变量x、y满足条件则x＋y的最大值是(　　)

A．2              B．5     C．6               D．8

2.若实数x、y满足，则的取值范围是(　　)

A．(0,1)　　　　　B.    C．(1，＋∞)  D.

3．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)   A．7　　　　B．5　　　　C．4　　　　D．3

【提高训练】

1．已知变量x、y满足条件则x＋y的最大值是(　　)

A．2             B．5      C．6               D．8

2．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　)A．[0,5]　　 B．[0,10]　　 C．[5,10]　　 D．[5,15]

3．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10距离的最大值是________．

5. 设、满足条件，则的最小值　　　　．

【习题训练】

1．已知实数x、y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是______．

2．不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____个．

3．若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．

知识点四：基本不等式

（1） ，(当且仅当时成立等号)，

扩展：平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

（当a = b时取等）

（2）对勾函数

题型一：求值域

技巧一：凑项

例1：已知，求函数的最大值。

技巧二：凑系数

例1. 当时，求的最大值。

技巧三： 分离

例3. 求的值域。

题型二：条件求值

1.若实数满足，则的最小值是          .

2：已知，且，求的最小值。

3.已知x，y为正实数，且x ²＋＝1，求x的最大值.

4. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.

【基础训练】

1.下列结论正确的是___

A  .当且时，    B.时， 

C．当时，的最小值为2      D.时，无最大值

2.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的取值范围是(　　)

A．(2，＋∞)　　　　B．[2，＋∞)     C．(4，＋∞)         D．[4，＋∞)

3.若x>0,y>0且，则xy的最小值是               ；

4.若实数a、b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是              ；

5.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为                    ；

6.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为              ；

7.已知正整数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，则实数对(a，b)是(　　)

A．(5,10)       B．(6,6)    C．(10,5)        D．(7,2)

8. 若，且，则，，，中最大的是_______________．

9.设函数则(    )

A.有最大值     B.有最小值     C.是增函数    D.是减函数

10. 函数的值域为（   ）

A.［2,)     B.（,－2］  C.［－2,2］    D.（,－2］［2,)

11.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为            ；

【提高训练】

1.已知，则的最小值        ．

 2已知点()在直线上, 其中,则（  ）

A.有最大值为2   B.有最小值为2    C.有最大值为1    D.有最小值为1

3. 已知非负实数、满足，则的最大值是（  ）

A.     B.      C.5     D.10

4 . 设,则(    )

A.有最大值8    B.有最小值8   C.有最大值8      D.有最小值8

5 . 设，，则（      ）

A.有最大值  B.有最小值  C.有最大值4  D.有最小值4

6. 已知点在直线上移动，则的最小值是(  )

A.8       B.6      C. 3    D. 4

7.已知x＞y＞0，求的最小值及取最小值时的x、y的值.

【习题训练】

1. 若，则的最小值是______

2. 正数满足，则的最小值为______

3. 若,且,则在下列四个选项中,较大的是(   )  A.   B.   C.  D. 

4.设a，b，a+2b=3 ，则最小值是               ；

5.若x＋2y＝1，则2^x＋4^y的最小值是________．

6. 若是正数，且，则有　　　　　　

A.最大值16　  B．最小值  C．最小值16　 D．最大值

8.函数的最小值是（    ）A）24    B）13   C）25  D）26

知识点五：不等式的综合应用

常见、常用结论：

（1） （2）

1.不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____

2.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____

3.若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围

 

第二篇：高中数学不等式知识点经典习题

典型例题一

例1 解不等式x??2x?3?2

分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a???a(a?0)，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与?a(a?0)?

之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令x?1?0，∴ x??1，令2x?3?0，∴x?3，如图所示．2

（1）当x??1时原不等式化为?(x?1)??(2x?3)?2∴x?2与条件矛盾，无解．

33时，原不等式化为x?1??(2x?3)?2．∴ x?0，故0?x?． 22

33（3）当x?时，原不等式化为x?1?2x?3?2．∴x?6，故?x?6．综上，原不等式的解为?x0?x?6?． 22（2）当?1?x?

说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．

典型例题二

例2 求使不等式x?4?x?3?a有解的a的取值范围．

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．

解法一：将数轴分为???,3?,[3,4],(4,??)三个区间

当x?3时，原不等式变为(4?x)?(3?x)?a,x?7?a7?a?3，即a?1； 有解的条件为22

当3?x?4时，得(4?x)?(x?3)?a，即a?1；

a?7a?7?4 ∴a?1． ，有解的条件为22

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a?1．

当x?4时，得(x?4)?(x?3)?a，即x?

解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式?PB?a的意义是P到A、B的距离之和小于a． 因为?1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即x?4?x?3?1，故当a?1x?4?x?3?a有解．

典型例题三

例3 已知x?a???,0?y?b?,y?(0,M)，求证xy???． 2M2a

分析：根据条件凑x?a,y?b． 证明：xy??xy?ya?ya??y(x?a)?a(y?b)?yx?a?a?y?b?M?

说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． ???a???． 2M2a

典型例题四

例4 求证 a2?b2a?a?b

分析：使用分析法

证明 ∵a?0，∴只需证明a?b?a?ab，两边同除b，即只需证明2222

a2?b2

b2?ab22?aa2a2aa2a2a2aaa，即 ()?1?()?当?1时，()??()?1?()?；当?1时， bbbbbbbbbb

a?b?0，原不等式显然成立．∴原不等式成立．

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

a2?b2

aa?bb??a??b aa22

（1）如果a?1，则a?b?0，原不等式显然成立． b

bb?1，则???b，利用不等式的传递性知a?，?a?b，∴原不等式也成立． aaa（2）如果

典型例题五

例5 求证a?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b．

分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．

证明：设f(x)?x1?x?11． ??1?1?x1?x1?x

定义域为｛xx?R，且x??1｝，f(x)分别在区间(??,?1)，区间(?1,??)上是增函数． 又0?a?b?a?b，∴f(a?b)?f(a?b)即a?b

1?a?b?a?b

1?a?b?a

1?a?b?b

1?a?b?a

1?a?b

1?b

∴原不等式成立．

说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵a?b?a?b，1?a?b?0，∴a?bababa?b． ?????1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a1?b

错误在不能保证1?a?b?1?a，1?a?b?1?b．绝对值不等式a?b?a?b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．

型例题六

22(a?1)(a?1)例6 关于实数x的不等式x?与x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0(a?R)的解集依次为A与B，求使?22

A?B的a的取值范围．

分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．

(a?1)2(a?1)2(a?1)2(a?1)2(a?1)2

?x??解：解不等式x?，?，∴A?x2a?x?a2?1,a?R． ?22222??

解不等式x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0，[x?(3a?1)](x?2)?0． 当a??1?1时（即3a?1?2时），得B??x2?x?3a?1,a??． 3?3?

?1?1时（即3a?1?2时），得B??x3a?1?x?2,a??． 3?3?当a?

?2a?2,1A?B当a?时，要满足，必须?2故1?a?3； 3?a?1?3a?1,

当a??2a?3a?1,?a??1,1时，要满足A?B，必须? ∴a??1． ?2?1?a?1,3??2?a?1;

所以a的取值范围是a?Ra??1或1?a?3．

说明：在求满足条件A?B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． ??

典型例题七

例6 已知数列通项公式an?sinasin2asin3asinna?????对于正整数m、n，当m?n时，求证：222232n

am?an?1． 2n

分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式a1?a2???an?a1?a2???an，问题便可解决．

证明：∵m?n∴am?an?

sin(n?1)asin(n?2)asinmasin(n?1)asin(n?2)asinma????????? 2n?12n?22m2n?12n?22m

1

?1

2n?1?1

2n?2

1?1???m?21???(1?n?11m?n1?2)?1111(1?)?(0?1??1)． nm?nnm?n22222n?12n?2

项是常见错误． 说明：111是以为首项，以为公比，共有m?n项的等比数列的和，误认为共有m?n?12m2n?12

正余弦函数的值域，即sin??1，cos??1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f(x)?x2?x?13，x?a?1，求证：f(x)?f(a)?2(a?1)

分析：本题中给定函数f(x)和条件x?a?1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x?a?1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a?1?x?a?1，替出x；(3)用绝对值的性质x?a?x?a?1?x?a?1进行替换．

证明：∵f(x)?x2?x?13，∴f(a)?a2?a?13，∵x?a?1，∴x?a?x?a?1． ∴x?a?1，∴f(x)?f(a)?x2?a2?a?x?(x?a)(x?a)?(x?a)?(x?a)(x?a?1)

?x?a?x?a?1?x?a??x?a?1?a?1?a?1?2(a?1)，即f(x)?f(a)?2(a?1)．

说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件x?a?1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．

典型例题九

?x?0?例9 不等式组?3?x2?x的解集是（ ）． ??3?x2?x?

A．x0?x?2 B．x0?x?2.5

C．x0?x? D．x0?x?3 ????????

分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由3?x2?x3?x?，知∴?3?x?3，又x?0，∴0?x?3，?0，3?x2?x3?x

解原不等式组实为解不等式3?x2?x?（0?x?3）． 3?x2?x

解法一：不等式两边平方得：(3?x)2(2?x)2?(3?x)2(2?x)2．

∴(x2?x?6)2?(x2?x?6)2，即(x2?x?6?x2?x?6)(x2?x?6?x2?x?6)?0，

?x2?6?0∴x(6?x)?0，又0?x?3．∴? ∴0?x?．选C．

?0?x?32

解法二：∵x?0，∴可分成两种情况讨论：

3?x2?x（0?x?2）．解得0?x?2． ?3?x2?x

3?xx?2(2)当x?2时，不等式组可化为（x?2），解得2?x?6． ?3?x2?x(1)当0?x?2时，不等式组化为

综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0?x?6，选C．

说明：本题是在x?0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．

典型例题十

例10 设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0，且b?0)，已知b?a，f(0)?1，f(?1)?1，f(1)?1，当x?1时，证明f(x)?5． 4

5，4分析：从a?0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x?1且f(?1)?1f(1)?1知，要求证的是f(x)?

所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．

证明：∵2b?(a?b?c)?(a?b?c)?a?b?c?a?b?c?f(1)?f(?1)?1?1?2，∴b?1．又∵b?a，∴

b4ac?b2b2bb1?c??1．∴???1．又c?f(0)?1，f(?)?， 2a4a4aa2a21b15bb2b2

?c???b?1??1?1?．而f(x)的图像为开口向上的抛物线，且x?1，∴f(?)?c??c?4a442a4a4a

?1?x?1，∴f(x)的最大值应在x?1，x??1或x??b5b处取得．∵f(1)?1，f(?1)?1，f(?)?， 2a42a

∴f(x)?5． 4

说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x?1范围内的最大值．