数值分析学习感想

摘要:数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。随着科学技术迅速发展，运用数学方法解决工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。

作为这学期的考试课，在我最初接触这门课时，我感到了很困难，因为无论是高数还是线性代数我都放下了很久，而我感觉数值分析是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，但是在老师不断地引导和讲授下，我逐渐对其产生了兴趣。在老师的反复讲解下，我发现我被它吸引了，因为它不仅是单纯的学科，还教会了我许多做人生活的道理。

首先，数值分析这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。

数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就会有很大的差别，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小， 这无疑是好的。

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数值分析复习总结

第二章     数值分析基本概念

教学内容：  

1.  误差与有效数字

误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；

误差的来源和误差的基本特性；

误差的计算（估计）的基本方法。

2.  算法的适定性问题

数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；

病态问题和不稳定算法的实例分析。

3.  数值计算的几个注意问题

避免相近二数相减；

避免小分母；

避免大数吃小数；

选用稳定的算法。

1.数值分析简介

数值分析的任务

数值分析是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科

数值分析的过程

构造算法、使用算法、分析算法

2.  数值计算的基本概念

l  误差概念和分析

误差的定义：

设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝对误差:

       

由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限

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课程内容

1 误差

了解误差的来源与分类及误差的基本概念与性质；

熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系；

掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用；

熟悉减小误差的积累和传播应注意的几大原则和通常做法。

2 插值法

掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值；

理解 Hermite 插值的构造和计算；

掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计；

了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题；

了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法；

了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。

3 曲线拟合与函数逼近

掌握曲线拟合的有关概念、意义和推导过程；

掌握应用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解；

了解函数逼近的有关概念、意义和推导过程；

掌握求解最佳一致逼近和最佳平方逼近函数的方法；

熟悉求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；

了解正交多项式特点及性质，会求连续函数的最佳一致多项式逼近。

4 数值积分与数值微分

理解机械求积公式及代数精度概念；

掌握确定求积公式的代数精度的方法；

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第一章

1   误差

    相对误差和绝对误差得概念

例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?

答:  实际问题-数学模型-数值方法-计算结果

     在这个过程中存在一下几种误差:

     建立数学模型过程中产生:模型误差  参数误差 

选用数值方法产生:截断误差 

计算过程产生:舍入误差  传播误差

6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差. 对于，估计对于的误差和相对误差.

解  的相对误差：由于

        .     ,

      .   （）

    对于的误差和相对误差. ==

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1章 引论

2章 非线性方程求根

3章 解线性方程组的直接法

4章 解线性方程组的迭代法

5章 插值法

6章 数值积分

7章 常微分方程的数值解法

第2章  非线性方程的迭代法

方程求根与二分法

迭代法

迭代收敛的加速方法

牛顿法

弦截法

第3章  解线性代数方程组的直接法

第4章  解线性代数方程组的迭代法

  线性方程组的两类解法：

         1、直接法:

       Gauss消元法,三角分解法.

         2、迭代法:

       Jacobi迭代法

       Gauss-Seidel迭代法

       超松驰迭代法       

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一：1.数值分析的特点：1）首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值上的稳定性。2）其次要对计算的结果进行误差估计，以确定其是否满足精度。3）还要考虑算法的运行效率即算法的运算量和存储量。

2.数值分析的误差种类：1）截断误差：模型的准确解与数值方法准确解之间的误差。

2）舍入误差：实数形式的原始数据与有限字长计算机数据间的误差。

3.算法的数值稳定性与病态问题：1）若某算法受初始误差或运算过程中的舍入误差影响较小，则称为数值稳定。2）若微小的初始误差都会对最终结果产生极大的影响，则称之为病态问题。

二：1.Runge现象及其解决方法

Runge现象即高次插值的振荡现象，指增加节点固然能使插值函数 p(x)与被插值函数f（x）在更多的地方相等，但在两点之间p(x)不一定能很好地近似f（x），有时候误差非常大。

解决方法：分段低次插值（将插值区间分成若干小区间，在小区间内用低次插值）

2.样条插值思想：插值函数p(x)在插值区间[a,b]上有二阶光滑度，在分段的小区间

[xk,xk+1]上是低次多项式，同时满足p(xi)=yi.

三：理解逼近问题与拟合问题：1）逼近问题：函数f(x)在区间[a,b]具有一阶光滑度，求多项式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量标准下最小的问题。 2）拟合问题：从理论上讲y=f(x)是客观存在的，但在实际中，仅仅从一些离散的数据（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的准确表达式，只能求出其近似表达式φ（x）。

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数值分析复习提要（４）

一、纲要

数值积分与数值微分一章中主要的要点如下：

１、数值积分的提法、插值型求积公式的导出及其余项估计

２、低阶数值积分公式及其余项的估计

３、数值积分的加速过程：Romberg算法与埃特金方法

４、高精度求积公式：Gauss求积公式

二、要点

１、若要求积分，当的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值时，可以考虑用数值的方法求得它的一个近似值。如果已知函数在个节点上的值，那么可以用这些节点构造一个插值多项式，用近似表示，并用近似表示，这时

上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为：

就称为机械求积公式，显然，插值求积公式就是一种机械求积公式。

２、在上述的插值型求积公式中，特别地，当给定的个节点是等距的时候，构造出来的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写为：

其中称为Cotes系数。特别地当时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公式，写为：

当时Newton-Cotes求积公式称为抛物求积公式（或辛甫森求积公式），写为：

当时Newton-Cotes求积公式称为Cotes求积公式，写为：

其中是区间的四等分点。

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数值分析深度总结---大兵

第一章 绪论

1． 数值分析的特点：

① ：面向计算机，算法包括+-*/和逻辑运算，都是计算机能够直接处

理的。

② 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精读要求，对近似算法要

保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

③ 有好的计算复杂性。

④ 有数值试验。

2.数值分析的误差：（模型、观测、截断、舍入）

#截断：数学模型不能得到精确解时，用数值方法求近似解，其余精确解之间的误差。

#舍入：计算机计算时，计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，计算过程又会产生新的误差。

3．判断算法优劣的标准：精读、稳定性、算法是否简单

4.算法的数值稳定性与病态问题。

#稳定性：某算法初始误差或计算过程中的舍入误差影响小。此算法为数值稳定的。

#病态：初始微小误差对最终结果产生极大影响。

第二章 插值法

1..两种插值公式：

①：拉格：

2

数值分析深度总结---大兵

②：牛顿：

2 .均差与导数的关系：

差分：略

3.龙格现象及其解决办法。

#现象：节点增多，P(x)和f(x)在更多地方相等，但是两节点之间，有时误差很大。

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