〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：．

（2）几个重要的对数恒等式:　　 ，，．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

（4）对数的运算性质   如果，那么

①加法：        

②减法：

③数乘：     

④

⑤    

⑥换底公式：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

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对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明：1 注意底数的限制，且；

      2 ；

      3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数；

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

注意：换底公式

  （，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制：，且．

2、对数函数的性质：

对数函数·例题解析

例1．求下列函数的定义域：

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指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈^*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·   ；

（2）     ；

   （3）      ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

    （1）在[a，b]上，值域是或

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

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                关于 高中基本函数 的教学讲义

预计课时：2                 学生姓名：                  指导教师：

（一）指数函数

指数：

(1) 规定：

① a0＝             (a≠0)；

② a-p＝               ；

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对数函数

知识点一：对数函数的概念

1．定义：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是（0，

+∞），值域为(??,??).它是指数函数y?a (a?0且a?1)的反函数．

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y?2log2x，注意： ○x

y?log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5

2 两个常用对数： ○

(1)常用对数 简记为: lgN （以10为底）

(2)自然对数 简记为: lnN （以e为底）

例1、求下列函数的定义域、值域：

2y?log2(x?2x?5)

知识点二：对数函数的图象

方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y?x的对称图形，即可获得。 同样：也分a?1与0?a?1两种情况归纳，以y?

log2x

2x

y=log1x

2

方法二： ①确定定义域;

②列表;

③描点、连线。

（1） y?log2x（2） y?log1x

2

１

（3） y?log3x（4） y?log1x 3

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指数函数与对数函数知识点总结

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中＞1，且∈*．

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

3．实数指数幂的运算性质

（1）·   ；

（2）     ；

（3）      ．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

2、指数函数的图象和性质

二、对数函数

（一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数；

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

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指数函数，对数函数和幂函数基础练习题

一.基础知识

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。 当na?a，当na

n

n

n

(a?0)?a

?|a|??

?a(a?0)?

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

m

a

a

n

?

mn

n

a(a?0,m,n?N,n?1)

1

m

m*

?

??

1

a

n

a

m

(a?0,m,n?N,n?1)

*

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rr?sr

（1）a〃a?a (a?0,r,s?R)； rsrs

（2）(a)?a (a?0,r,s?R)；

（3）(ab)?aa

rrs

(a?0,r,s?R)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

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对数函数及其性质

相关知识点总结：

1.对数的概念

一般地，如果a^x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log_aN．a叫做对数的底数，N叫做真数．

2. 对数与指数间的关系

3.对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．   (2)log_a1＝0(a＞0，a≠1)．    (3)log_aa＝1(a＞0，a≠1)．

10.对数的基本运算性质

 (1)log_a(M·N)＝log_aM＋log_aN．  (2)log_a＝log_aM－log_aN．  (3)log_aMⁿ＝nlog_aM(n∈R)．

4.换底公式

（1）log_ab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．（2）

5.对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝log_ax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

6.对数函数的图象和性质

7.反函数

对数函数y＝log_ax(a＞0且a≠1)和指数函数y＝a^x(a＞0且a≠1)互为反函数．

基础练习：

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