导数与微积分重要概念及公式总结

1.平均变化率：  称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率

2.导数的概念

从函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，即

                

3.导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x₀处的导数等于在该点处的切线的斜率，（其中为切点），即

切线方程为：

4.常用函数的导数：

（1）  则

（2），则

（3），则

（4），则

（5），则

（6），则

（7），则

（8），则

（9），则

（10），则

（11），则

5.导数的运算法则：

（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

6.复合函数的导数：一般地，对于两个函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

若，则

7.函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减

8.求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

9.求函数的极值的方法：

解方程，当

（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值

（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值

10.利用导数求函数的最值步骤:

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

11.定积分的一般研究方法:

采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积

12.定积分的几何意义

13.定积分的性质：

（1）

（2）

（3）

14.函数的奇偶性与定积分的关系（是区间上的连续函数）

（1）当是偶函数时，

（2）当是奇函数时，

15.定积分与曲边梯形面积的关系：

（1）曲边梯形位于x轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积

（2）曲边梯形位于x轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数

16.微积分基本原理:

特别的

例1用数学归纳法证明： （规范书写步骤！）

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=，等式成立。

（2）假设当时等式成立，即

那么，

即当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2），可知等式对任何都成立

例2：求的单调区间、极值及在上的最大值和最小值

解：因为函数，所以

令，解得

（1）    当时，即当时，函数为单调递增函数

（2）    当时，即当时，函数为单调递减函数

当变化时，的变化情况如下表

因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为

当x=2时，函数有极小值，极小值为

在上，当x=2时，函数有极小值，极小值为

又由于，因此，函数在上的最大值为4，最小值为

 

第二篇：导数及其应用 知识点总结

导数及其应用 知识点总结

1、函数从到的平均变化率： 

2、导数定义：在点处的导数记作；．

3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．

4、常见函数的导数公式：

①；②；    ③；④；

⑤；⑥；    ⑦；⑧

5、导数运算法则：

 ；

 ；

．

6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；

若，则函数在这个区间内单调递减．

7、求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；     （2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

8、求函数的极值的方法是：解方程．当时：

如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；

如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．

9、求解函数极值的一般步骤：

（1）确定函数的定义域     （2）求函数的导数f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

10、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：

求函数在内的极值；

将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．