第五章  定积分

创新生技102班  张梦菲

2010015066

一、           主要内容

                                                                 

 

Ⅰ. 定积分概念：

1. 定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点

.把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分.

记为

当上述极限存在时，称在上可积.

1. 若在上连续，则在上可积。
2. 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.

Ⅱ. 定积分的几何意义

   定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取正，轴下方的面积取负)

Ⅲ. 定积分的性质

1.       补充规定：(1)当时，

(2)当时,

2.       性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 若在上，，则

 推论1：若在上，，则.

 推论2：.

(6 ) 若在上，,则

(7) (定积分中值定理)：若在上连续，则在上至少存在，使.

3.       连续函数在上的平均值，

Ⅳ. 积分上限函数及其导数

1.       若对任意，存在，则称为积分上限的函数.

2.       若在上可积，则在上有界. 且积分上限函数在上连续.

3.       设在上连续，则在上可导，且.

4.       设连续，可导，则.

5.       设连续，，可导，则

   .

Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)

  设在上连续，为在上的一个原函数，则

.

Ⅵ. 定积分的换元法

  设在上连续，满足：

  (1) .

(2)在(或)上具有连续导数，且的值域不越出的范围，则有.

注：当的值域越出的范围，但满足其余条件时，只要在上连续，则换元法的结论仍然成立.

Ⅶ. 定积分的分部积分法

  设与在上具有连续导数，则有

 

Ⅷ. 几类特殊的积分公式

1.       设在上连续，则有.

  

2.       设是以为周期的连续函数，则对任意实数，

有.

3.       设在上连续，则

 

 

  4.

Ⅸ. 反常积分(广义积分)

1.       无穷限的反常积分

(1)     设在上连续,

(2)     设在上连续,

(3)     设在上连续,

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

  注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.

2.       无界函数的反常积分

(1)     设在上连续，点为的瑕点，

(2)     设在上连续，点为的瑕点，

(3)     设在上除点外连续，点为的瑕点，

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

  注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.

3.       反常积分的审敛法

(1) (比较审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数及，使得 ，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.

(2) (极限审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，

(或)则反常积分发散.

(3) (比较审敛法2)设在上连续，且. 为的瑕点.若存在常数及，使得，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.

(4) (极限审敛法2) 设在上连续，且. 为的瑕点. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，(或)则反常积分发散.

 

.

 

第二篇：高等数学第二章导数知识总结

高等数学第二章知识总结

在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。微分和导数的关系

求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.

函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.

一.

(1) 单侧导数 即左 右导数.

函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等.

(2) 可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.

注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.

◆求导数的方法有:

(1) 利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极

限）

(2) 利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的

实际问题.

(3) 利用初等函数的求导公式.(在书P59)

(4) 利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数

导数的倒数.)

(5) 利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)

(6) 利用隐函数求导法

(7) 利用参数方程确定函数的求导法.

(8) 利用分段函数求导法.

(9) 利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连

续性与可导性.

二.高阶导数

高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.

方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.

间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强. 常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.

■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。

三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数 什么是隐函数?

如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数

F(x,y)=0

从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化. 有些隐函数不易显化,甚至不能显化.

隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）

(1) 把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)

即可。再在方程两边分别对X求导.

(2) 从求导后的方程中求出y’.

(3) 在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一

以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)

对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.

四.函数的微分.

可微就可导,可导就可微.

求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.

微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.

常用的微分公式在书P76.

五.微分的应用.

1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.