积 分
整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.
一、不定积分
不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础,希望同学们熟记积分公式,及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)
二、定积分
1.定义式:
2.定义域:一维区间,例如
3.性质:见课本P229-P232
特殊:若,则,即区间长度.
4.积分技巧:奇偶对称性.
注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.
5.积分方法:与不定积分的方法相同.
6.几何应用:
定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);
其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.
三、二重积分
1.定义式:
2.定义域:二维平面区域
3.性质:见下册课本P77
特殊: 若,则,即为的面积.
4.坐标系:
①直角坐标系:型区域,型区域
②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.
5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心;
6.几何应用:
二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;
其他应用:求曲面的面积
四、三重积分
1.定义式
2.定义域:三维空间区域;
3.性质:与二重积分类似;
特殊: 若,则,其中表示的体积.
4.坐标系:
①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面
积易求时采用)
②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;
③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后
.
5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.
6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)
五、第一类曲线积分
1.定义式:(二维) (三维)
2.定义域:平面曲线弧 空间曲线弧
3.性质:见课本P128
特殊: 则,表示曲线弧长.
4.计算公式(二维为例):
类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.
5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;
6.几何应用:见上3.
六、第二类曲线积分
1.定义式: (二维)
(三维)
2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)
3.性质:见课本P135
4.计算公式:
注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.
5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关.
不能使用奇偶对称性.
6.应用:力做功.
七、第一类曲面积分
1.定义式:
2.定义域:空间曲面
注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例.
3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似
特殊: 则,表示曲线面积.
4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.
注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.
5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.
6.几何应用:见上3.
八、第二类曲面积分
1.定义式
2.定义域:有向空间曲面
3.性质:见课本P162
4.计算公式: ,类似可得另两个.
5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.
注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封
闭.
6.应用:求流量,磁通量等.
奇偶对称性:
定积分:若积分区间关于原点对称,例如
若关于为奇函数,则
若关于为偶函数,则
二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分
若关于为奇函数,则
若关于为偶函数,则
同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.
三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分
若关于为奇函数,则
若关于为偶函数,则
同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况.
例题:P123#1(1)(2) P124#2(4)
第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分
若关于为奇函数:
若关于为偶函数:
同样可以得到曲线关于轴对称的情况.
第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,
若关于为奇函数:
若关于为偶函数:
同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况.
例题:课本P158#6(3),P184#2
变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用,
使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时
例题1:其中为球面被平面所截的曲线.
例题2: 其中为球面
循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有
例题:课本168页#3(4)
质心:适用重积分,第一类积分.
请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)
区别:以下两个例题应该怎样算?
,
其中
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