第五章  定积分  总结

一、定积分的概念与结论

1．定积分的概念

（1）定积分的定义：                                                       ．

（2）定积分的基本思想：                                                  ．

（3）两个规定：①                       ；②                              

（4）定积分的值只与积分区间和被积函数有关，与积分变量的选取             关．

（5）可积的条件：

①                                                                      ；②                                                                      ．

（6）定积分的几何意义：

①                                                                        

                                                                            ；

②                                                                        

                                                                            ；

③                                                                        

                                                                            ．

2．积分上限函数：                                                         ．

积分上限函数的导数：                                                     ．

3．广义积分

（1）无穷区间上的广义积分：

=                                                              ；

=                                                              ；

=                                                              ．

（2）无界函数的广义积分

设为的瑕点，=                                              ；

设为的瑕点，=                                              ；

设，为的瑕点，=                                    ．

二、定积分的性质

性质1：                                                                   ．

性质2：                                                                   ．

性质3：                                                                   ．

性质4：                                                                   ．

性质5：                                                                   ．

推论1：                             ；推论2：                            ．

性质6：                                                                   ．

性质7：                                                                   ．

三、定积分的计算方法

1．牛顿——莱布尼兹公式：                                                 ．

2．第一类换元积分公式（凑微分公式）：                                       ．

3．第二类换元积分公式：                                                   ．

4．分部积分公式：                                                         ．

5．利用奇偶性计算定积分：

（1）若在上连续且为偶函数，则                          ．

（2）若在上连续且为奇函数，则                          ．

6．一个重要的积分公式：

为正的偶数时，                                ；

为大于1的奇数时，                            ．

四、定积分的应用

1．平面图形的面积：

（1）若平面图形由连续曲线及直线所围成，则其面积为                                                            ．

（2）若平面图形由连续曲线及直线所围成，则其面积为                                                          ．

2．旋转体的体积：

（1）由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为                                              ．

（2）由连续曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为                                             ．

3．定积分在经济问题中的应用：                                            

                                                                            ．

 

第二篇：高等数学第五章_定积分总结

第五章  定积分

创新生技102班  张梦菲

2010015066

一、           主要内容

                                                                 

 

Ⅰ. 定积分概念：

1. 定积分定义：设在区间上有界，在中任意插入若干个分点

.把分成个小区间，小区间的长度记为，在上任意取一点，作，若 存在. 就称该极限为在上的定积分.

记为

当上述极限存在时，称在上可积.

1. 若在上连续，则在上可积。
2. 若在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.

Ⅱ. 定积分的几何意义

   定积分在几何上表示：由曲线，直线和以及轴所围图形面积的代数和 (轴上方的面积取正，轴下方的面积取负)

Ⅲ. 定积分的性质

1.       补充规定：(1)当时，

(2)当时,

2.       性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 若在上，，则

 推论1：若在上，，则.

 推论2：.

(6 ) 若在上，,则

(7) (定积分中值定理)：若在上连续，则在上至少存在，使.

3.       连续函数在上的平均值，

Ⅳ. 积分上限函数及其导数

1.       若对任意，存在，则称为积分上限的函数.

2.       若在上可积，则在上有界. 且积分上限函数在上连续.

3.       设在上连续，则在上可导，且.

4.       设连续，可导，则.

5.       设连续，，可导，则

   .

Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)

  设在上连续，为在上的一个原函数，则

.

Ⅵ. 定积分的换元法

  设在上连续，满足：

  (1) .

(2)在(或)上具有连续导数，且的值域不越出的范围，则有.

注：当的值域越出的范围，但满足其余条件时，只要在上连续，则换元法的结论仍然成立.

Ⅶ. 定积分的分部积分法

  设与在上具有连续导数，则有

 

Ⅷ. 几类特殊的积分公式

1.       设在上连续，则有.

  

2.       设是以为周期的连续函数，则对任意实数，

有.

3.       设在上连续，则

 

 

  4.

Ⅸ. 反常积分(广义积分)

1.       无穷限的反常积分

(1)     设在上连续,

(2)     设在上连续,

(3)     设在上连续,

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

  注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.

2.       无界函数的反常积分

(1)     设在上连续，点为的瑕点，

(2)     设在上连续，点为的瑕点，

(3)     设在上除点外连续，点为的瑕点，

若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.

  注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有收敛. 只要有一个极限不存在，就发散.

3.       反常积分的审敛法

(1) (比较审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数及，使得 ，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.

(2) (极限审敛法1) 设在上连续，且. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，

(或)则反常积分发散.

(3) (比较审敛法2)设在上连续，且. 为的瑕点.若存在常数及，使得，则反常积分收敛；若存在常数，使得 ，则反常积分发散.

(4) (极限审敛法2) 设在上连续，且. 为的瑕点. 若存在常数，使得存在，则反常积分收敛；若，(或)则反常积分发散.

 

.