第五章  定积分

创新生技102班  张梦菲

2010015066

一、           主要内容

                                                                 

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第五章  定积分  总结

一、定积分的概念与结论

1．定积分的概念

（1）定积分的定义：                                                       ．

（2）定积分的基本思想：                                                  ．

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定积分的方法总结

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法

例1、求，（）

解:因为函数在上连续，所以函数在上可积，采用特殊的方法作积分和．取，将等分成个小区间,

分点坐标依次为

取是小区间的右端点，即，于是，，

其中，=

=

将此结果代入上式之中，有

从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．　

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

变式：求．

分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．

解：将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

==．

二、微积分基本定理法

例2、计算．

解：=

==．

练习：计算：(1)．(2)

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定积分讲义总结

内容一　定积分概念

一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：     

其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．

     （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．

1．分割

在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

             ，，…，  

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七大积分总结

一．  定积分

1.     定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x₀<x₁<x₂<……<x_i-1<x_i<x_i+1<……<x_n-1<x_n=b,

把区间[a,b]分成n个小区间：[x₀,x₁]……[x_i-1,x_i]……[x_n-1,x_n]，

记△x_i=x_i－x_i-1(i=1,2,3,……,n)为第i个小区间的长度，在每个小区间上[x_i-1,x_i]上任取一点ξ_i(x_i-1≤ξ_i≤_i)，作乘积:

f(ξ_i)△x_i(i=1,2,3,……,n),并作合式：     

记λ=max{△x₁, △x₂, △x₃……, △x_n},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x_i-1,x_i]上点ξ_i怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：               

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定积分计算的总结

闫佳丽

摘  要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.

关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.

1前言

17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.

2正文

那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数在有定义，任给一个分法T和一组，有积分和，若当时，积分和存在有限极限，设，且数与分法T无关，也与在的取法无关，即有，则称函数在可积，是函数在的定积分，记为.其中，a与b分别是定积分的下限与上限；是被积函数；是被积表达式；x是积分变量.若当时，积分和不存在极限，则称函数在不可积.定积分的几何意义也就是表示x轴，，与围成的曲边梯形的面积.

但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：

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定积分基础知识点与方法总结

1. 知识网络

2.方法总结

(1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限

(2)定积分几何意义：

①表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积

②表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数

(3)定积分的基本性质：

①

②

③

(4)求定积分的方法：

①定义法：分割—近似代替—求和—取极限

②利用定积分几何意义

③微积分基本公式

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考研数学：高数重要公式总结（定积分）

　　考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。

定积分的近似计算：　定积分应用相关公式：

 

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