定积分计算的总结

闫佳丽

摘  要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.

关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.

1前言

17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.

2正文

那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数在有定义，任给一个分法T和一组，有积分和，若当时，积分和存在有限极限，设，且数与分法T无关，也与在的取法无关，即有，则称函数在可积，是函数在的定积分，记为.其中，a与b分别是定积分的下限与上限；是被积函数；是被积表达式；x是积分变量.若当时，积分和不存在极限，则称函数在不可积.定积分的几何意义也就是表示x轴，，与围成的曲边梯形的面积.

但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：

1、函数在闭区间连续,则函数在闭区间可积.

2、函数在闭区间有界,且有有限个间断点,则函数在闭区间可积.

3、若函数在闭区间单调,则函数在闭区间可积.

在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.

一、按照定义计算定积分.

定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以为例：任意分割,任意选取作积分和再取极限.任意分割任意取所计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作的特殊分法，选取特殊的，计算出定积分.

第一步：分割.

将区间分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.，那么分割点的坐标为，，......，，在上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.

第二步：求和.

计算n个小长方形的面积之和，也就是.

第三步：取极限.

，即，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.

例1、    用定义法求定积分.

解：因为在连续

    所以在可积

    令

将等分成n个小区间，分点的坐标依次为

取是小区间的右端点，即于是

所以，

二、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数在区间内必须连续。求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.

定理：若函数在区间连续，且是的原函数，则.

证明：因为是的原函数，即有

      积分上限函数也是的原函数

      所以

       所以

       令有即

       再令有

我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.

例2、  用牛顿莱布尼茨公式计算定积分.

解：  原式=

同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算.

三、定积分的分部积分法

公式：函数，在有连续导数则

证明：因为，在有连续导函数

      所以

      所以

      即

      或

例3、  求定积分.

解：

四、定积分的换元积分法

应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算.

公式：若函数在区间连续，且函数在有连续导数，当时，有则：

        证明：

                   

              即

这个公式有两种用法：

（1）、若计算

1、选取合适的变换，由a,b通过，分别解出积分限与；

2、把代入得到；

3、计算.

例4、  计算定积分。

解：设有

       时，；时，

       

（2）、计算，其中

1、把凑成的形式；

2、检查是否连续；

3、根据与通过求出左边的积分限a,b；

4、计算.

例5、    计算定积分。

解：令，则，

       当时，；当时，

       所以原式=

上面这四种方法就是定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算.定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握.其实，在实际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样.定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算.常用的就是其他三种，即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法.

在这三种方法中，牛顿-莱布尼茨公式比较常用，通过连续把定积分转换成为不定积分再进行计算即可.但是转换成为不定积分后，有的被积函数不能直接用现成的公式计算，那么就要用不定积分的分部积分或者换元积分法求出一个原函数再代入上下限进行计算，就复杂化了.因此，如果被积函数连续且可以用公式直接求出原函数，那么就用牛顿-莱布尼茨公式进行计算.如果不能直接用公式，那么为了简单化，就看被积函数是否可以用分部积分或者换元积分法，如果可以，那么就选择分部积分或者换元积分法直接进行计算.

3参考文献

[1]刘玉琏.《数学分析讲义上册》.高等教育出版社.2008.5

[2]马訾伟.《数学分析讲义全程导学及习题全解》.中国时代经济出版社.2009.9

     

毕 业 论 文

题目：定积分计算的总结

学    校：集宁师范学院      

年    级： 数学系09级                

班    级： 数学教育一班                 

学    号： 200920520141             

姓    名： 闫 佳 丽                     

指导教师： 李 林 书          

            

20##年6月14日

 

第二篇：积极分子总结

积极分子思想总结

亲爱的同学们：

成为入党积极分子已经有一年的时间了。

在这一年里，通过很多理论学习和社会实践，我对中国共 产 党有了更为全面的认识。

通过在党校的学习，我初步了解了中国共 产 党的章程、指导思想、组织制度和基本路线等；

接着，通过对《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概述》和《中国近现代史纲要》两门课程的学习，对中国共 产 党艰难的发展历程和其对中国的伟大贡献有了更加深入的了解。

在菁英训练营的课堂上，石副书记给我们上了一次形象生动的党课，课上，石书记就近代中国人民“三个选择”的历史必然性这一话题，给我们阐述了近代中国人民为什么选择了共 产 党为执政党、为什么选择了社会主义道路和为什么选择了马克思主义作为我党的指导思想。同时，石书记把我国同世界各国、各地区的实际情况作比较，指出现阶段坚持中国共 产 党的领导和社会主义道路仍是最适合中国国情的选择。石书记同时也告诫我们要以辩证的态度和眼光看待中国共 产 党，不盲目崇拜，也不盲目诋毁，以理性的态度认真分析现阶段中国社会出现的各种弊端，做一个理性的人。

可以看出，中国共 产 党是一个先进的党。它不断地在总结反思，20xx年十七届四中全会首次全面提出了党面临的四大考验：执政考验、改革开放考验、市场经济考验、外部环境考验。同时，强调了青年一代的重要性：培养和造就青年人才大军是实现中华民族伟大复兴的一项重大而紧迫的战略任务；用邓小平理论构筑当代青年精神支柱，促进青年一代全面发展；

至此，我更加坚定了加入中国共 产 党的决心。

这学期，我又在学习《马克思主义基本原理》这一门课程，深入的学习中国共 产 党的指导思想，我相信通过这门课程的学习，对中国共产的指导思想有更深入的了解，争取做一个思想合格的共 产 党员。

在一开始成为积极分子前，老师就要求我们严以律已，在学习工作等各个方面起到模范带头作用。回过头来想想，我觉得自己还是做得不错的。

首先是桥梁作用。虽然我可能跟班上同学们的交流不是很多，但其实在校广播台里，我就是扮演的一个桥梁的角色，向上每天都会和党委老师沟通，让老师了解广播台的工作动向和同学们的思想动向，同时听取老师的工作安排和对台里工作的建议；向下传达学校的工作安排和各种宣传事宜。工作之外，我也能经常和部长们交流，和他们成为朋友，为他们排忧解难。通过这些零距离的沟通，广播台的工作井井有条的开展，同时，我也交到了很多朋友，沟通的能力也得到了很大的提升。

其次是骨干作用。在安排好广播台的日常事务的同时，作为积极分子，我还得为广播台的长期发展，甚至是整个学校的校园媒体发展进行思考，积极推进校园媒体的资源共享，加强广播台与其他校园学生组织和社团的合作，让校园信息传播更加畅通。另外，我会随时随地为学校的利益着想，任何对学校不利的事物我都会理性的分析然后作出判断，不盲目跟风。

再次是模范带头作用。我觉得模范带头作用应该细化的学习生活的每一个角落。积极进取，争取学习不挂科，不逃课，每一节课都能勇敢的坐最前面，自觉抵制互联网游戏等各种不良诱惑；遵守公德，节约用水用电，自觉关掉公共场所长明的灯，长流的水，自觉捡起校园的一片垃圾，自觉为老弱病残让座；乐于分享，每天早上分享的一条早安心语或励志箴言，以积极乐观的生活态度去影响身边的每一位同学。

当然，我也有很多做得不好的方面，比如与班上的同学交流较少，为班级和学院做的事情不是很多。我想，在大三退出广播台后，回到班级，回到学院，真正的为同学，为学院做点事情，和同学共同学习，共同进步，为学院的发展做一些力所能及的事情。

希望大家能够投我一票，如果我被推选为发展对象，在接下来的日子里，我会更加努力的学习理论知识，更加积极地参与各种社会实践，让自己成为一名合格的预备党员；如果我不幸落选，证明我的缺点还很多，还不能得到同学们的认可，接下来我也会弥补自己的不足，争取早日成为一名合格的共 产 党员。

谢谢大家！

汇报人：XX

20xx年x月x日