七大积分总结

一．  定积分

1.     定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x₀<x₁<x₂<……<x_i-1<x_i<x_i+1<……<x_n-1<x_n=b,

把区间[a,b]分成n个小区间：[x₀,x₁]……[x_i-1,x_i]……[x_n-1,x_n]，

记△x_i=x_i－x_i-1(i=1,2,3,……,n)为第i个小区间的长度，在每个小区间上[x_i-1,x_i]上任取一点ξ_i(x_i-1≤ξ_i≤_i)，作乘积:

f(ξ_i)△x_i(i=1,2,3,……,n),并作合式：     

记λ=max{△x₁, △x₂, △x₃……, △x_n},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x_i-1,x_i]上点ξ_i怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：               

其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，

称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。

关于定积分的定义，作以下几点说明：

（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即。

（2）定义中区间的分法与ξ_i的取法是任意的。

（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：

例：     （此特殊合式在计算中可以作为公式使用）

2. 定积分的存在定理

定理一    若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理二    若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。

3. 定积分的几何意义

对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分

在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。

4．定积分的性质

线性性质（性质一、性质二）

性质一    和差的积分等于积分的和差；

性质二    （k是常数）

性质三    对区间的可加性   不管a,b,c相对位置如何，总有等式

     

性质四   如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则

性质五（保号性）   如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则

推论一  设f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则

推论二    (a<b)

性质六（估值定理）  设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则    

性质七（定积分中值定理）   设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立：    （本性质可由性质六和介值定理一块证得）

5．积分上限函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x为区间[a,b]上任意一点，则

f(x)在区间[a,x]上定积分为，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成

，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。所以积分是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做

Φ(x):   Φ(x)=  (a≤x≤b)

并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：

定理一   如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为

Φ^‘(x)=      （a≤x≤b）

定理二（原函数存在定理）   如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。

定理三   如果函数f(t)在区间I₁上连续，a(x),b(x)在区间I₂上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I₂上的复合函数，则

F(x)=在I₂上可导，且

F^‘(x)==f[b(x)]·b^’(x)-f[a(x)]·a^’(x)

6.牛顿-莱布尼茨公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。

次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。

7.定积分的常见积分方法

换元法

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=(t)满足下列条件：

（1）(α)=a,(β)=b;

(2)在区间[α,β]上(t)具有连续导数且其值域R[a,b]，

则有 ，此公式称为定积分的换元公式。

注意：换元必换限，即用x=(t)把积分变量x换成t时，积分限一定要换成相应于新积分变量t的积分限；

另外此公司反过来也可以用：，其中

定积分中的对称奇偶性：

若f(x)在区间[-a,a]上连续，则：

（1）当f(x)为奇函数时，=0

（2）当f(x)为偶函数时，

三角函数的定积分公式：

设f(x)在[0,1]上连续，则：

（1）;(2)

周期函数的定积分公式：

如果T是连续函数f(x)的周期，则（a为常数）

分部积分法

若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有

     

重要结论：

设I_n=，则

（1）当n为正偶数时，I_n=

（2）当n为大于1的正奇数时，I_n=

常用到的不定积分的积分公式：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数：                           两个重要极限：

常见微分公式：

8.无穷限的广义积分：

设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a，如果极限

存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做

，这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。

同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。

对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。

几条结论：

（1）广义积分，当p>1时收敛，当p≤1是发散。

（2）广义积分当p>0时收敛，当p<0时发散。

9.无界函数的广义积分：

设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为函数f(x)的瑕点，取t>a，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记做，即=。

这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。

同理，可得f(x)在区间[a,b）上的瑕积分,即

         = 

对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：

     ==F(b)-=F(x)-F(a+0)

小结论：

广义积分当p<1时收敛，当p≥1时发散。

对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。

10.定积分的应用

一、定积分在几何上的应用：

（一）平面图形的面积

1.直角坐标情形:

对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A=   （a<b）

对于由曲线y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的Y型的曲边梯形的面积计算公式为：   (c<d)

2.参数方程情形：

当曲边梯形的曲边f(x)(f(x)≥0,x∈[a,b])由参数方程

x=,y=给出时，若，且在[a,b]上具有连续导数，y=连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可得曲边梯形的面积为：A==

4. 极坐标情形：

由曲线及射线围成的曲边扇形的面积计算公式为

     A=

（二）立体的体积

1.旋转体的体积

对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=

同理可得相似的绕Y轴和Z轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。

2.平行截面面积已知的空间立体的体积

若一个立体位于平面x=a,x=b之间，且知道过x且垂直于x轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A(x)为了连续函数，则此立体的体积计算公式是：  V=，同理可得相似的过Y（Z）且垂直于Y（Z）轴的平面截得的立体的体积的计算公式。

（三）平面曲线的弧长

1.参数方程情形

设曲线由参数方程x=,y=给出，且，在[]上具有一阶连续导数，则其弧长的计算公式为：

        S=

2.直角坐标情形

设曲线由直角坐标方程y=f(x)  （a≤x≤b）给出，其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f(x)，故其弧长的计算公式为：s=

3.极坐标情形

设弧线由极坐标方程   给出，其中在[]上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=cos,y=sin,故弧长为s=

二、定积分在物理上的应用

（一）变力沿直线所做的功     W=

（二）液体压力      这个就题论题；

（三）引力       这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和Y州两个方向上分别计算，就题论题；

定积分到此结束，在计算的过程中要牢记常见的公式，特别是积分公式，这些都与不定积分有关，上边总结的一些积分公式可能不全，见谅。

二．  二重积分

这里二重积分的引入（阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的体积）和定义及概念就不再总结，只声明：

当被积函数为常数1的时候，二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时，二重积分的意义有很多，这与二重积分的应用有关。

1. 二重积分的性质

性质一(线性性质)  和差的积分等于积分的和差；

性质二（区域可加性）   若区域D由n个不重合的有界闭区域D_i(i=1,2,3,……,n)组成，则

性质四（单调性）    若在区域D上恒有f(x,y)≤g(x,y),则

≤，   特别的有

性质五（估值定理）   设M，m分别为f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值，A为区域D的面积，则     mA≤≤MA

性质六（积分中值定理）   设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点，使=fA

2. 二重积分的计算（基本思想：将二重积分转化为二次积分）

一、  在直角坐标系下计算二重积分

（一）    先对Y，后对X的二次积分

设二重积分的积分区域D可以表示为

a≤x≤b,的形式，其中，在[a,b]上连续，这时程区域D为X型区域，这时二重积分的计算公式为

=

（二）    先对X，后对Y的二次积分

类似上边，若二重积分的积分区域D可以表示为

c≤y≤d,的形式，则称区域D为Y型区域，这时二重积分的计算公式为: =

二、  在极坐标系下计算二重积分

若积分区域D与圆域有关或者被积函数为，，f(xy)等形式，用极坐标计算更简便。

极坐标下的面积微元可以表示为：  

直角坐标与极坐标有如下变换：,而两个坐标系的积分区域的形状不变，，因此有

==

常用的计算技巧：

1. 适当的拆分被积函数和积分区域（主要是利用分块积分和对称性）

2. 对称性质

若区域D关于X轴对称：

（1）若f(x,y)是关于Y的偶函数，则：=2

（2）若f(x,y)是关于Y的奇函数，则=0；

3.二重积分的一般换元法

设变量变换   ，将Oxy平面上的闭区域D一一对应地变到Ouv平面上的闭区域D^‘，如果函数u,v在闭区域D内有连续偏导数，   且≠0    则，=

三、三重积分

三重积分的几何意义（涉及到四维空间，暂不讨论）略去。在特殊情况下，当被积函数恒等于1时，三重积分表示的为被积空间的体积大小。

1．   三重积分的计算

（一）    直角坐标系下三重积分的计算

方法一：投影法（又称先一后二法，先化三重积分为定积分，计算完定积分后就化为二重积分了）

设三重积分的积分区域Ω可表示为：

Ω：z₁(x,y)≤z≤z₂(x,y),    (x,y)∈D_xy

其中D_xy为Ω在Oxy平面上的投影区域，它是Oxy平面上的有界闭区域，z₁(x,y)和z₂(x,y)都在Oxy上连续，则计算三重积分时，先将x,y看做常数，然后可得：

=

=先对Z积分，转化成关于X,Y的一个二重积分（事实上还是化为关于X,Y,Z的三次积分来计算了），然后在计算二重积分即可（下面不再叙述）。

若区域D_xy可以再极坐标系下表示，那么可以将上述公式化为先对Z，再对r，后对θ的三次积分。

方法二：截面法（又称先二后一法，事实上是先化三重积分为二重积分，计算完二重积分后就化为一个定积分了）

设空间区域Ω：c₁≤z≤c₂,(x,y)∈D_z,其中D_z是过点（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截Ω所得的平面区域，则

=，然后可根据D_z是坐标系下的X型或Y型区域化X,Y的二重积分为二次积分，然后转化为Z的定积分。

若D_z可以用极坐标系表示，则还可以化为关于先计算r,θ的二重积分（化为二次积分计算），再计算Z的定积分。

（由于这里公式繁杂，故不再详细书写，请谅解）

3. 三重积分的换元法

设变量变换

将Ouvw空间中的闭区域Ω^‘一一对应地变换为Oxyz空间中的闭区域Ω，若函数x,y,z在Ω^‘内具有连续的偏导数，且

≠0，则三重积分的换元公式为

=

4. 柱面坐标下三重积分的计算

柱面坐标与直角坐标的变换关系为：

,则易得（代入上边的换元公式中可得）：J=r≠0,所以=，然后计算三重积分。

注：当被积函数含有zf(x²+y²),zf(xy),的形式，或者积分区域由圆柱面（或一部分）锥面、抛物面所围成时，用柱面坐标系计算比较简便。

5. 球面坐标下三重积分的计算。

直角坐标和球面坐标之间的转换关系如下：

则代入上边的换元法的公式中可得J=r²sin≠0   故

=

注：当积分区域是与球面有关的区域时或者被积函数中含有等形式时，用球面坐标系计算比较简便。

三重积分的对称奇偶性：

若Ω关于Oxy平面对称，则当f为关于z的奇函数时，=0；当f为关于z的偶函数时，=2

6. 重积分的应用

一．  计算立体体积    V=

二．  计算空间曲面面积

设∑：z=f(x,y)为空间可求面积的曲面，∑在Oxy平面的投影区域为D_xy,任取D_xy上的小区域，则经过证明可得（证明过程略去，自己看书）：=dS,故

dS==,故

S=，然后计算二重积分。

三、  求质心

这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书。

设有一个有界闭区域D，它的密度在D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：（其中M_x,M_y分别为质点系对对X，Y轴的静距）。

，

特别的，当区域D的面密度为常值时，其质心坐标计算公式为：

，

同理可得空间有界区域Ω的形心的坐标公式：

，，

特别的，当空间区域所代表的例题均匀为时，其形心坐标公式为：

补充：

1. 若积分区域关于直线y=x对称，则根据轮换对称性可得：

=

2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。

3. 利用质心、重心公式计算（当且仅当积分区域所代表的图形是均匀的）：

例如：（此公式是由质心公式变形得到的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标）

四、  计算转动惯量（公式推导过程略去）

设一个平面区域D，面密度为，下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：

，

同理也可得到空间区域Ω所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量分别为：

其中d_x,d_y,d_z分别为点(x,y,z)到x,y,z轴的距离。

五、  计算引力（推导过程略去，自个儿看书）

某薄片在平面Oxy上所占区域为D，面密度为，下面给出它对点（x₀,y₀,z₀）处单位质点（单位质量的质点）的引力计算公式：（任取D上的小区域d，点M（x,y,z）为d上任意一点）

，

四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量（此过程不再叙述）。

1. 对弧长的曲线积分的定义

设函数f(x,y)在Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L分成任意的n段，Δs_i表示小狐段本身又表示它的长度，点是Δs_i上任取的一点，令λ=maxΔs_i,则定义第一类曲线积分：

，同时可定义在空间中的第一类曲线积分：

2. 对弧长的曲线积分的性质

性质一  ，其中l为弧长。

性质二（线性性质）  对弧长和差的积分等于积分的和差。

性质三（可加性）    将曲线弧分成n段补充和的小弧段，则

性质四（单调性）   若在曲线弧L上，f(x,y)≤g(x,y),则

，特别

3. 对弧长的曲线积分的计算

对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化，小值做下限）

设函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为

x=,y=，，则对弧长的曲线积分存在，且  （α<β）

特别的，当曲线弧L的方程为y=，(a≤x≤b)时，可以将x看做参数，故  

同理也可写出将Y看做参数的计算公式。

当曲线弧L有极坐标方程时，由极坐标与直角坐标的变换关系，将θ看做参数，则

以上公式都给可以推广到空间曲线弧：

上，此时对弧长的曲线积分公式为：

五、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

引例：变力沿曲线做功（在此不再叙述）

1. 第二类曲线积分的定义（直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前边几种积分很相似）。

向量函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标X的曲线积分，记做，向量函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标Y的曲线积分，记做：。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,则质点沿曲线弧从起点A到终点B是变力F做功可表示为：W=+，同理可推广到空间中的光滑曲线弧，故

W=

2. 对坐标的曲线积分的性质

性质一（线性性质）  对坐标的曲线积分具有线性（和差的积分等于积分的和差）

性质二（可加性）  对坐标的曲线积分具有积分曲线分段可加性。

性质三（有向性）  设L为有向光滑曲线弧，记L^—为L的反向曲线弧，则，同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。

3.对坐标的曲线积分的计算（变量参数化，起参值做下限）

与对弧长的曲线积分的计算方法一样，对坐标的曲线积分的计算方法也是将其化为定积分。

设函数P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为

x=,y=，，其中，具有连续的一阶导数，又有当t由α变到β时，L上的电从起点变到终点，则对坐标的曲线积分存在，且

同理也可写出当X或Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系下时的公式（这里就不再叙述了），且以上公式都可以推广到空间曲线弧中。

注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上下限。

3. 两类曲线积分之间的联系

设L：x=,y=，为从点A到点B的有向光滑曲线弧，其中点A处t=θ₁,点B处t=θ₂,又P(x,y),Q(x,y)在L上连续，令

，

==   同理可得：

=

4. 格林公式及其应用

格林公式的定义：

若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y）,Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有

。（证明略）

5. 平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件

设D是单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有连续的一阶偏导数，则下面四个命题等价：

（1）对D中任一分段光滑闭曲线C，有；

（2）对D中任一有向分段光滑曲线L，曲线积分与路径无关，只与起点、终点有关；

（3）Pdx+Qdy在D内是某一函数u(x,y)的全微分，即在D内du(x,y)=Pdx+Qdy;

（4）在D内恒有。（证明略）

6. 第二类曲线积分小结：

（1）对封闭的第二类线积分，应首先考虑格林公式：

① 若D中无奇点（P,Q的骗到不存在的点），则：

；

② 若D内含有奇点（挖洞法，洞所在区域为D₁），则取特殊l（逆时针）：

，特别的

当时，
（2）对非封闭的第二类线积分，首先考虑积分与路径的关系；

① 若积分与路径无关，则取特殊路径l，（l与L方向一致）；

故

② 若积分与路径有关，但是（k为常数），则用封口法，取特殊路径l与L构成闭合回路（闭合区域为D），

则。

补充:以上在在选择特殊路径l时，尽量选择折线路径（尽可能使得路径l的各条线段平行于坐标轴，这样能简化计算）。

7．求解全微分方程

已知du(x,y)=Pdx+Qdy,求u(x,y)=？

方法一：曲线积分法

由曲线积分可得，u(x,y)=；

方法二：凑微分法

即依据给定的Pdx+Qdy从形式上凑成u(x,y)的全微分；

方法三：不定积分法

由两边对X积分得u(x,y)=，

其中待定；再由：

 

六、  第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

1．    引入概念及定义：求解空间曲面构件的质量（略去，不再叙述）

对面积的曲面积分记做：，，当f(x,y,z)≡1时，

所求对面积的曲面积分的结果就是曲面的面积。

2．   对面积的曲面积分的计算（先投影、再代入、最后

基本思路：化为二重积分

曲面∑的方程为z=z(x,y)，设其在Oxy平面上的投影为D_xy,因为被积函数f(x,y,z)在∑上积分，且(x,y,z)满足∑的方程，所以被积函数可写成：f(x,y,z(x,y)),故

=,同理也可以将曲面投影到Oyz,Oxz平面上。（在球面坐标系中，S的微元

dS=）

3.计算中也可以用到对称性，轮换对称性、可加性等性质，参照前面几个积分的总结即可。