因式分解的一点补充——十字相乘法

教学重点和难点

重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

难点：灵活运用十字相乘法因分解式。

一、 导入新课

前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。

答：1．-（x+3）（x-5）； 2．（x+y-12）（x+y+4）；

3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

二、新课

例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 = -5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

2一般地，对于二次三项式ax+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项

c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 c1

a × c

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

1 × 5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

1×（-4）+5×2=6

解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解 （x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2

=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

三、课堂练习

1．用十字相乘法因式分解：

（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2； （4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。

答案：1．（1）（x-4）（2x+3）； （2）（x-2）（3x+1）；

（3）（2x-1）（3x-5）； （4）（x-3）（7x+2）；

（5）（3x-1）（4x-3）； （6）（2x+3）（2x+9）。

2．（1）（2x-3y）（3x-2y）； （2）（2xy+5）（4xy-7）；

（3）（3x-y）（6x-5y）； （4）（3a-b）（5b-a）。

四、小结

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：

（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：

a1 c1

在式子 a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2 c2

向的两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。”

（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项。

（3）二次项系数a一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。

2．形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。

五、作业

1．用十字相乘法分解因式：

（1）2x2+3x+1； （2）2y2+y-6； （3）6x2-13x+6； （4）3a2-7a-6；

（5）6x2-11xy+3y2； （6）4m2+8mn+3n2； （7）10x2-21xy+2y2；

（8）8m2-22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：

（1）4n2+4n-15； （2）6a2+a-35； （3）5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9； （5）15x2+x-2； （6）6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2； （8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

答案：

1．（1）（2x+1）（x+1）； （2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）； （4）（a-3）（3a+2）；

（5）（2x-3y）（3x-y）； （6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）； （8）（2m-3n）（4m-5n）。

2．（1）（2n-3）（2n+5）； （2）（2a+5）（3a-7）；(3）（x+1）（5x-13）； （4）（x+3）（4x+3）；

（5）（3x-1）（5x+2）； （6）（2y+5）（3y+2）；（7）（4y+5）-（5y-4）； （8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

 

第二篇：初二数学因式分解重点难点总结

因式分解的一点补充——十字相乘法

教学重点和难点

一、 导入新课

前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

课前练习：下列各式因式分解

1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

二、新课

例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1 1 3 1 -1 1 -3

2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1

1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3）

=5 =7 = -5 =-7

经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 c1

a × c

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。

像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

2×（-5）+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。

解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1 -3

1 × 5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3 把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

1×（-4）+5×2=6

解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。 解 （x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2

=2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

三、课堂练习

1．用十字相乘法因式分解：

（1）2x2-5x-12； （2）3x2-5x-2； （3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6； （5）12x2-13x+3； （6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2； （2）8x2y2+6xy-35；

 

第三篇：因式分解总结及方法

因式分解方法技巧

分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。

常见错误：

1、漏项，特别是漏掉

2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化

［例题］把下列各式因式分解：

1. x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2 a5-a 3(x2-4x)2-48

2[解析]1中(x-y)=(y-x)2 ,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分

解

[答案]1、 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2

=(y-x)[x+y-(y-x)]

=2y(y-x)

2、 a5-a=a(a4-1)=a(a2+1)(a2-1)=a(a2+1)(a+1)(a-1)

3、原式=3[(x2-4x)-16]=3(x2-4x+4)(x2-4x-4)=3(x-2)2 (x2-4x-4)

练习

1、3x?12x3 2222、2a(x?1)?2ax 3、3a?6a 2

4、56x3yz+14x2y2z－21xy2z2 5、－4a3＋16a2b－26ab2 6、m4?16n4

专题二 二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。

平方差公式运用时注意点：

根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式：

A、 多项式为二项式或可以转化成二项式；

B、 两项的符号相反；

C、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式；

D、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式；

E、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式

[例题]分解因式：3(x+y)2-27

[答案]3（x+y）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32]=3(x+y+3)(x+y-3)

[点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 1

练习

1)x5－x3 2)m4?16n4 3)25－16x2 4)9a2－12b. 4

专题三

三项式的分解因式:如果一个能分解因式，一般用到下面2种方法：1提公因式法 2完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2的形式

完全平方公式运用时注意点：

A. 多项式为三项多项式式；

B. 其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方；

C. 第三项为B中这两个数（或代数式）的积的2倍，或积的2倍的相反数。

【例题】将下列各式因式分解：

1）ax2-2axy+ay2 2)x4-6x2+9

[解答] ax2-2axy+ay2 =a(x2-2xy+y2 )=a(x-y)2 x4-6x2+9=(x2-3)2

练习

1)25x＋20xy＋4y 2）x＋4x＋4x 3) 8ab?12ab?4ab 2232324

3n?1n?14)?3x?12x?9x 5)xy?2x2n?1y2n?1?xn?1y3n?1 32

专题四

多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

[例题]分解因式m2 +5n-mn-5m

解：m2+5n-mn-5m= m2-5m -mn+5n =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)

练习 1、a?b?4a?4b 2、 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

【实战模拟】

1．若a－b=8,a2＋b2=82,则3ab的值为（ ）

A．9 B．－9 C．27 D．－27

2．.若3×9m×27m=311，则m的值为（ ）

2 22

A.2 B.3 C.4 D.5

3.若3x?4,9y?7，则3x?2y的值为（ ）

47

A．7 B．4 C．?3 D．2

7

4.二次三项式x2?kx?9是一个完全平方式，则k的值是5．若9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是_______．

6．已知10m?210，n?3，则103m?2n?

7．若2x?4y?5?0，则4x?16y的值为．

8．若m2?2m?1，则2m2?4m?20xx的值是

9．若3a2?a?2?0，则5?2a?6a2?

10．若x2?3x?4?1，则20xx?2x2?6x的值为_____________

11．若3a?5，3b?6，求3a?b的值

12．已知：am?3, an?5，求am?n?2的值

13．已知xm?n?xm?n?x9求m的值.

14．若ma?2?6,mb?5?11 ,求ma?b?3的值

15．若52x?1?125，求?x?2?20xx?x的值

16．若2x?3?5x?3?100x?1 ， 求x的值

17．已知：3m?2n?8 求：8m?4n的值

18．比较3555，4444，5333的大小。

19．已知：am?2，bn?3 求：a2m?b3n的值

20．若(9x2)3?(1

3)8?4，求x3的值．

21．若32?92a?1?27a?1?81，求a的值

22．若3x2?x?1，求6x3?7x2?5x?20xx的值。

23．简算：⑴2100??0.5?101 ⑵22?3?52 ⑶24?32?54

24．分解因式：

（1）(a?2)2?(3a?1)2 （2）x5(x?2y)?x2(2y?x)

（3）a2(x?y)2?2a(x?y)3?(x?y)4 a2-b2-c2+2bc a4-b4 mn(m+n)-m(m2-n2) 8a(a+b)-6b(a+b) x4-5x2+4 x3+x2y-xy2-y3 m22mn2

9+

3+n-1+a2 3

26．已知：x?1

x??3，求x4?1

x4的值。

27．若a，b，c是三角形的三条边，求证：a2?b2?c2?2bc?0

28．已知ａ＋ｂ＝１０，ａｂ＝２４.，（１）＋（２）的值．

29．已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值

30．若a2+b2+4a-6b+13=0，试求ab的值

4