概率论知识点总结

第一章 随机事件及其概率

第一节 基本概念

随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）

包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。

相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 A∪B。

事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。

事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。

用交并补可以表示为。

互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。

对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。

事件运算律：设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA

（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C    A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)     A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC

（4）对偶律（摩根律）：     

第二节 事件的概率

概率的公理化体系：

（1）非负性：P(A)≥0；

（2）规范性：P(Ω)＝1

（3）可数可加性：两两不相容时

概率的性质：

（1）P(Φ)＝0

（2）有限可加性：两两不相容时

当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

（3）

（4）P(A－B)＝P(A)－P(AB)

（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)

第三节 古典概率模型

1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为

2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为

假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节 条件概率

条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).

乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)

全概率公式：设是一个完备事件组，则P(B)=∑P()P(B|)

贝叶斯公式：设是一个完备事件组,则

第五节 事件的独立性

两个事件的相互独立：若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A、B独立，或称A、B相互独立.

三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立

三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A、B、C两两独立

独立的性质：若A与B相互独立，则与B，A与，与均相互独立

总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布

第二节 分布函数

分布函数：设X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数为X的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间 内的概率

分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）

第三节 离散型随机变量

离散型随机变量的分布律：设(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.

当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：（1）；（2）

离散型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的分布律，求X的分布函数；

（2）已知随机变量X的分布律, 求任意随机事件的概率；

（3）已知随机变量X的分布函数，求X的分布律

三种常用离散型随机变量的分布：

1.（0－1）分布：参数为p的分布律为

2.二项分布：参数为n，p的分布律为，。例如n重独立重复实验中，事件A发生的概率为p，记X为这n次实验中事件A发生的次数，则X～B（n，p）

3.泊松分布：参数为λ的分布率为，。例如记X为某段事件内电话交换机接到的呼叫次数，则X～P（λ）

第四节 连续型随机变量

连续型随机变量概率密度f(x)的性质

（1）f(x)≥0

（2），

（3）

（4）

连续型随机变量的概率计算：

（1）已知随机变量X的密度函数，求X的分布函数；

（2）已知随机变量X的分布函数，求X的密度函数；

（3）已知随机变量X的密度函数, 求随机事件的概率；

（4）已知随机变量X的分布函数，求随机事件的概率；

三种重要的连续型分布：

1．均匀分布：密度函数，记为 X～U[a，b].

2. 指数分布：密度函数，记为X～E（λ）

3. 正态分布：密度函数 ，记为

N（0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.

第五节 随机变量函数的分布

离散型：在分布律的表格中直接求出；

连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

第三章 多维随机变量及其分布

第一节 二维随机变量的联合分布函数

联合分布函数，表示随机点落在以（x ，y）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。

联合分布函数的性质：

（1）分别关于x和y单调不减；

（2）分别关于x和y右连续；

（3）F (-∞ , y ) = 0,F ( x ,-∞ ) =0,F(-∞,-∞) = 0

F ( +∞ ,+∞ ) = 1

第二节 二维离散型随机变量

联合分布律：

联合分布律的性质：；

第三节 二维连续性随机变量

联合密度：
联合密度的性质：；；

第四节 边缘分布

二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；

二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度

第六节 随机变量的独立性

独立性判断：

（1）若取值互不影响，可认为相互独立；

（2）根据独立性定义判断

    离散型可用

    连续型可用

独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布

第四章 随机变量的数字特征

离散型随机变量数学期望的计算，

连续型随机变量数学期望的计算，

方差的计算：，

数学期望的性质

（1）E (C ) = C

（2）E (CX ) = CE (X )

（3）E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

（4）当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )

方差的性质

（1）D (C) = 0

（2）D (CX ) = D(X)

（3）若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )

常见分布的数学期望和方差

两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布

 

第二篇：概率论知识点总结

概率论与数理统计期末知识点小结

第一章 概率论的基本概念

1. 随机试验

确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称

为随机现象。

随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。

随机试验的特点：1）可以在相同条件下重复进行；

2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

结果；

3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

2. 样本空间、随机事件

样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。

事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A

不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立

事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。

事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

3. 频率与概率

频数：事件A发生的次数

频率：频数/总数

概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。

概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）

-P（AB）

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，

插空问题，捆绑问题等等）

5. 条件概率

定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A）

乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A)

全概率公式与贝叶斯公式

6. 独立性检验

设 A、B是两事件，如果满足等式

P（AB）=P（A）P（B）

则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

第二章．随机变量及其分布

1. 随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X（e）是定义在样本空间S上的单值函数，称

X=X（e）为随机变量。

2. 离散型随机变量及其分布律

三大离散型随机变量的分布

1）（0——1）分布。E（X）=p, D(X )=p(1-p)

2）伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

3) 泊松分布 P（X=k）= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

E（X）=?，D（X）= ?

注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ?

3. 随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数

F（x）=P（X≤x）,x属于R 称为X的分布函数

分布函数的性质：

1） F（x）是一个不减函数

2） 0≤F（x）≤1

离散型随机变量的分布函数的求法（由分布律求解分布函数）

连续性随机变量的分布函数的求法（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求

解分布函数）

4. 连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数

密度函数的性质：1）f(x)≥0

2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

2)指数分布 E（X）=θ D（X）=θ^2

3)正态分布一般式（标准正态分布）

5. 随机变量的函数的分布

1）已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

2）已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数

第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布）

1.二维随机变量

定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数

F（x, Y）=P[(X≤x)交（Y≤y）] 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数

离散型随机变量的分布函数和密度函数

连续型随机变量的分布函数和密度函数

重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法

2．边缘分布

离散型随机变量的边缘概率

连续型随机变量的边缘概率密度

3.相互独立的随机变量

如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

5. 两个随机变量的分布函数的分布

关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度

第四章．随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法

六大分布的数学期望

2.方差

连续性随机变量的方差

D（X）=E（X^2）-[E (X )]^2

方差的基本性质：

1） 设C是常数，则D（C）=0

2） 设X随机变量，C是常数，则有

D（CX）=C^2D(X)

3) 设X，Y是两个随机变量，则有

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 特别地，若X，Y不相关，则有D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 切比雪夫不等式的简单应用

3. 协方差及相关系数

协方差：Cov(X ,Y )= E{（X-E（X））（Y-E（Y））}

相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关