概率论与数理统计期末知识点小结

第一章 概率论的基本概念

1. 随机试验

确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称

为随机现象。

随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。

随机试验的特点：1）可以在相同条件下重复进行；

2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

结果；

3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

2. 样本空间、随机事件

样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。

事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A

不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立

事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。

事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

3. 频率与概率

频数：事件A发生的次数

频率：频数/总数

概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。

概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）

-P（AB）

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，

插空问题，捆绑问题等等）

5. 条件概率

定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A）

乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A)

全概率公式与贝叶斯公式

6. 独立性检验

设 A、B是两事件，如果满足等式

P（AB）=P（A）P（B）

则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

第二章．随机变量及其分布

1. 随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e}. X=X（e）是定义在样本空间S上的单值函数，称

X=X（e）为随机变量。

2. 离散型随机变量及其分布律

三大离散型随机变量的分布

1）（0——1）分布。E（X）=p, D(X )=p(1-p)

2）伯努利试验、二项分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

3) 泊松分布 P（X=k）= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

E（X）=?，D（X）= ?

注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ?

3. 随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数

F（x）=P（X≤x）,x属于R 称为X的分布函数

分布函数的性质：

1） F（x）是一个不减函数

2） 0≤F（x）≤1

离散型随机变量的分布函数的求法（由分布律求解分布函数）

连续性随机变量的分布函数的求法（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求

解分布函数）

4. 连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数

密度函数的性质：1）f(x)≥0

2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

2)指数分布 E（X）=θ D（X）=θ^2

3)正态分布一般式（标准正态分布）

5. 随机变量的函数的分布

1）已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

2）已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数

第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布）

1.二维随机变量

定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数

F（x, Y）=P[(X≤x)交（Y≤y）] 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数

离散型随机变量的分布函数和密度函数

连续型随机变量的分布函数和密度函数

重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法

2．边缘分布

离散型随机变量的边缘概率

连续型随机变量的边缘概率密度

3.相互独立的随机变量

如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

5. 两个随机变量的分布函数的分布

关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度

第四章．随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法

六大分布的数学期望

2.方差

连续性随机变量的方差

D（X）=E（X^2）-[E (X )]^2

方差的基本性质：

1） 设C是常数，则D（C）=0

2） 设X随机变量，C是常数，则有

D（CX）=C^2D(X)

3) 设X，Y是两个随机变量，则有

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 特别地，若X，Y不相关，则有D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 切比雪夫不等式的简单应用

3. 协方差及相关系数

协方差：Cov(X ,Y )= E{（X-E（X））（Y-E（Y））}

相关系数：m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关

 

第二篇：概率论知识点总结

标规划的数学模型”概念需要看；“解目标规划的图解法”要求掌握；“解目标规划的单纯形法”需要看（第四章） 概率论知识点总结

第一章

一、事件的运算

1、事件A与B至少有一个发生的事件成为事件A、B的和事件，记为A∪B或A+B。对任意事件A和B有P(A＋B)=P(A)＋P(B)－P(AB)

2、事件A和B，仅当A发生而B不发生时它发生，称此事件为事件A与B的差事件，记为A－B，对于任意A、B有P（B－A）＝P（B）－P（AB）

3、事件A和B同时发生的事件称为A与B的积事件，记为A∩B或AB

4、若事件A发生必导致B发生，则称事件A包含于B或者B包含A，记为AB或BA（此处未找到“包含”字符）最好自己画图理解一下

5、事件A与事件B不能同时发生，即AB= φ，称A与B是互不相容或互斥的

6、若在一次实验中，事件A与B中必有一个且仅有一个发生，称A与B为互逆事件或对立事件，记为A+B=Ω，AB= φ

二、条件概率及乘法公式

1、定义：已知AB为两个事件，且P（B）≠0，称在B之前已发生的前提下A发生的概率为条件概率，记为P（A|B）。P（AB）＝P（B）P（A|B）或P（AB）＝P（A）P（B|A）

2、若两事件AB满足等式P（AB）＝P（A）P（B），则称事件与相互独立。

三、全概率公式及逆概率公式：此处公式不太好写，大家自己对照课本理解一下 模拟试卷一和二的填空、选择前两个小题参考上述概念

第二章、第三章、第四章

1、 离散型随机变量的分布律、期望、方差

（0－1）分布 E（X）=P，D（X）=p q； 二项分布：X~B（n，p），E（X）=n p，D（X）=n p q； 泊松分布：P(X=K)=？【此处不好敲出来，大家自己看书哈】 E(X)=λ, D(X) = λ

2、连续性随机变量的概率密度、期望、方差

概率密度定义：若存在非负可积函数f（x），使得随机变量X取值于任意区间（x1，x2）的概率为P{x1＜X＜x2}＝【此处整理不出来，自己看课本哈】则称X为连续性随机变量，称f（x）为X的概率密度或分布密度或密度函数

分布函数定义：设X为一随机变量，x为任意实数，称函数F(x)=P﹛X≤x﹜为X的分布函数

“均匀分布”和“正态分布”的概率密度和分布函数自己看课本哈，有些符号不好打出来

均匀分布：E(X)＝a+b/2 D(X)＝(b－a)2/12

指数函数：E(X)＝1／ λ D(X)＝1／λ2

正态分布：X~N( μ,ó2) E(X)＝ μ D(X)＝ó2

关于上述定义，参考课本，自己理解，结论课直接运用

3、数学期望和方差的简单性质

1）C为常数，则E(C)=C D(C)=0

2）设X、Y为两个随机变量，则E(X±Y)=E(X)±E(Y)

3）设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y) D(X±Y)＝D(X)＋D(Y)

4)D(CX)＝C2D(X)

另联合概率密度啦、边缘密度啦，这些东西要自己看的哦

第五章

“大数定理和中心极限定理”要求掌握

第六章

一些统计量的分布，如卡方分布、t分布要求掌握、F分布要求理解

第七章

“矩估计”和“最大似然估计量”要求掌握，“正态总体均值和期望的置信区间”也要掌握的

【概率论总的说来不好总结，之前听说别班有划范围的，纯属谣言。具体的考点参考模拟试卷一和二上的试题，不会就查课本哈，莎莎祝大家每天充实、快乐哦

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☆☆ 祝你快乐！ ☆☆

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