基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

3、取值范围：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的取值范围。

4、确定函数取值范围的方法：

（1）关系式为整式时，函数取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.称y与x成正比例。

应用：（1）y与x成正比例，可设y=kx(k≠0)

（2）y与x-1成正比例，可设y=k（x-1）

（3）y+1与x-1成正比例，可设y+1=k（x-1）

（4）已知Q=W+100，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n成正比。则可设，则Q=

10、一次函数

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

11、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

12、直线y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂的位置关系

（1）两直线平行：k₁=k₂且b₁b₂

（2）两直线相交：k₁k₂

（3）两直线重合：k₁=k₂且b₁=b₂

（4）两直线垂直：

13、一次函数y=kx＋b的图象

根据几何知识：两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线。选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.

17、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.

（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.

反比例函数知识点总结

知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①（），②（），③（定值）（）；

⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

★关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小，就会与事实不符的矛盾。

★反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，则，

注意点：，确定k的值必须看，一三象限k＞0，二四象限k＜0

例如：图中=3，由于p点在二四象限，故k= -3

☆  反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。

二次函数知识点

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数的性质

（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.

（2）函数的图像与的符号关系.

    ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

  ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

  ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

      用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线中，的作用

 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

    以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

(4)①二次函数值恒为正a＞0且

   ②二次函数值恒为负a＜0且

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

11.用待定系数法求二次函数的解析式

 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

 （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

 （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

 （1）轴与抛物线得交点为(0, ).

 （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

 （3）抛物线与轴的交点

      二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

      ①有两个交点抛物线与轴相交；

      ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

      ③没有交点抛物线与轴相离.

  （4）平行于轴的直线与抛物线的交点

      同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

  （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

  （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

函数的对称性：

（1）一次函数的图像是一条直线，它是轴对称图形，对称轴是本身或任意一条垂线。

（2）正比例函数图像是一条直线，它是轴对称图形，对称轴是本身或任意一条垂线，它也是中心对称图形，对称中心是原点。

（3）反比例函数图像是双曲线，双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。

（4）由（2）（3）知，正比例函数、反比例函数的交点关于原点对称。

例如：若已知的一个交点为（a，b），则另一个交点为（-a，-b）

（5）二次函数的图形是抛物线，它是轴对称图形。

 

第二篇：初中函数知识点总结非常全

知识点一、平面直角坐标系                                                      

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征

 1、各象限内点的坐标的特征

    点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上，x为任意实数

点P(x,y)在y轴上，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于

（3）点P(x,y)到原点的距离等于

知识点三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四、正比例函数和一次函数  

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像  所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之右上升；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左之右下降。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

（3）当b>0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上

（4）当b<0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法

知识点五、反比例函数   

1、反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、 反比例函数的性质

4、反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

若过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。  。

知识点六、二次函数的概念和图像 

1、二次函数的概念

一般地，如果，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征（也叫抛物线的三要素）：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。  

知识点七、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：

二次函数的图像可由的图像上下平移得到（平移规律：上加 下减）。

3. 的性质：

二次函数的图像可由的图像左右平移得到（平移规律：左加  右减）。

4. 的性质：

知识点八、二次函数解析式的表示方法   

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用两点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

知识点九、二次函数解析式的确定

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．                          

知识点十、二次函数的最值   

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

知识点十一、二次函数的性质  

1、二次函数的性质

2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离

推导过程：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.

 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

知识点十二 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

                                                                  y

如图：点A坐标为（x₁，y₁）点B坐标为（x₂，y₂）

则AB间的距离，即线段AB的长度为            A

                                                                  0           

                                                              B

2、二次函数图象的平移

① 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

② 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

③平移规律  在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

3、直线斜率：   

4、设两条直线分别为，：  ：  若，则有且。   若

知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系

抛物线中， a b c,的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

 >0时，抛物线开口向上；<0时，抛物线开口向下；的绝对值越大，开口越小

 （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.   口诀 --- 左同   右异

 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

      当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

      ①，抛物线经过原点;

      ②,与轴交于正半轴；

      ③,与轴交于负半轴.

      以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

知识点十四、中考点击

 考点分析：

命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占3-6分左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占6分左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．

分析近年中考，预计20##年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．