北京高考数学线性规划题型总结

20##年北京高考线性规划归类解析

线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。　

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知则的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件下，当时，目标函数

的最大值的变化范围是（）

A. B. C. D.

解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A) (B) (C) (D)

解析：双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域（如图4所示）时有。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。

解析：如图5作出可行域，由其表示为斜率为，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值。则直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间。即则的取值范围为。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）(A) (B)4 (C) (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由，它表示为斜率为，纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

第二篇：高中数学等差数列题型总结

一、等差数列

1、数列的概念

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；（2），，，；（3），，，。

解析：（1）=2；（2）= ；（3）= 。

如（1）已知，则在数列的最大项为__ ；

（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___；

（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围；

2、等差数列的判断方法：定义法或。

例2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

答案：B；解法一：a_n=，∴a_n=2n－1（n∈N）

又a_n₊₁－a_n=2为常数，≠常数，∴{a_n}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

练一练：设是等差数列，求证：以b_n= 为通项公式的数列为等差数列。

3、等差数列的通项：或。

4、等差数列的前和：，。

例3：等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，若a₂＋a₄＋a₁₅的值是一个确定的常数，则数列{a_n}中也为常数的项是(　　)

A．S₇　　　　 B．S₈C．S₁₃ D．S₁₅

解析：设a₂＋a₄＋a₁₅＝p(常数)，∴3a₁＋18d＝p，解a₇＝p.∴S₁₃＝＝13a₇＝p. 答案：C

例4．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，则n为(　　)

A．48 B．49 C．50 D．51

解析：∵a₂＋a₅＝2a₁＋5d＝4，则由a₁＝得d＝，令a_n＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.

如(1)等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；

例5：设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₁₂＝－8，S₉＝－9，则S₁₆＝________.

解析：S₉＝9a₅＝－9，∴a₅＝－1，S₁₆＝8(a₅＋a₁₂)＝－72. 答案：－72

例6：已知数列{a_n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S_n有最大值，则使S_n>0的n的最大值为(　　)

A．11 B．19 C．20 D．21

解析：∵<－1，且S_n有最大值，∴a₁₀>0，a₁₁<0，且a₁₀＋a₁₁<0，∴S₁₉＝＝19·a₁₀>0，S₂₀＝＝10(a₁₀＋a₁₁)<0.

所以使得S_n>0的n的最大值为19，故选B.答案：B

如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝；

（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和.

5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

6.等差数列的性质：

常用结论
　（1）前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。
　（2）若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。
　（3），，成等差数列。

即，则

（5） ①若a₁＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；
　　 ②若a₁＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n。

（6）若a_n=m,a_m=n, (mn)则a_m+n=0

（7）若a_n=m,a_m=n, (mn)则a_m+n=0

（8）若S_n=m,S_m=n, (mn)则S_m+n=—m—n

重点：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

（4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.

练一练：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。

（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。

练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.

练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；

(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

练一练：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；

例7．（1）设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（）

A.d＜0 B.a₇＝0 C.S₉＞S₅D.S₆与S₇均为S_n的最大值

（2）等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A.130 B.170 C.210 D.260

解析：（1）答案：C；由S₅<S₆得a₁+a₂+a₃+…+a₅<a₁+a₂+…+a₅+a₆，∴a₆>0，又S₆=S₇，∴a₁+a₂+…+a₆=a₁+a₂+…+a₆+a₇，∴a₇=0，

由S₇>S₈，得a₈<0，而C选项S₉>S₅，即a₆+a₇+a₈+a₉>02（a₇+a₈）>0，由题设a₇=0，a₈<0，显然C选项是错误的。

（2）答案：C。解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，

∴。

解法二：设前m项的和为b₁，第m+1到2m项之和为b₂，第2m+1到3m项之和为b₃，则b₁，b₂，b₃也成等差数列。于是b₁=30，b₂=100－30=70，公差d=70－30=40。∴b₃=b₂+d=70+40=110，∴前3m项之和S_3m=b₁+b₂+b₃=210.

解法三：取m=1，则a₁=S₁=30，a₂=S₂－S₁=70，从而d=a₂－a₁=40。于是a₃=a₂+d=70+40=110.∴S₃=a₁+a₂+a₃=210。

等差数列课后练习

一、选择题

1．若a≠b,数列a,x₁,x₂ ,b和数列a,y₁ ,y₂ ,b都是等差数列，则（）

A． B． C．1 D．

2．在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝　（　）

A．40 B．45 C．50　　 D．55

3．等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为（）

A． B． C． D．

4．在等差数列，则在S_n中最大的负数为（）

A．S₁₇ B．S₁₈ C．S₁₉ D．S₂₀

5．已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是

A．(－∞,－2) B．[－, －2] C．(－2, +∞) D．(— ,－2)

6．在等差数列中，若，则n的值为（）

A．18 B17． C．16 D．15

7．等差数列中，等于（）

A．－20．5 B．－21．5 C．－1221 D．－20

8．已知某数列前项之和为，且前个偶数项的和为，则前个奇数项的和为

A． B． C． D．

9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146所有项的和为234，则它的第七项等于

A．22 B ．21 C．19 D．18

10．等差数列中，≠0，若ｍ＞1且，，则ｍ的值是

A． 10 B． 19 C．20 D．38

二、填空题

11．已知是等差数列，且则k= .

12．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则 .

13．在等差数列中，若，则 .

14．是等差数列的前n项和，(n≥5，)， =336，则n的值是 .

三、解答题

15．己知为等差数列，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

16．数列是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；（2）求前项和的最大值；（3）当时，求的最大值。

17．设等差数列的前ｎ项的和为S _n ,且S ₄ =－62, S ₆ =－75,求：

（1）的通项公式a _n 及前ｎ项的和S _n ；（2）|a ₁ |+|a ₂ |+|a ₃ |+……+|a ₁₄ |.

18．已知数列，首项a ₁ =3且2a _n+1=S _n ·S _n_－₁ (n≥2).

（1）求证：{}是等差数列,并求公差；（2）求{a _n }的通项公式；

（3）数列{a_n}中是否存在自然数k₀,使得当自然数k≥k₀时使不等式a_k>a_k+1对任意大于等于k的自然数都成立,若存在求出最小的k值,否则请说明理由.

选择题：ABCCB DABDA 填空题：11．8； 12．； 13．24； 14．21.

解答题：15．分析：应找到原数列的第n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。解：设新数列为即3=2+4d，∴，∴，，∴，即原数列的第n项为新数列的第4n－3项．（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n－3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。