2014高考数学题型归纳：圆锥曲线

1、 直线与圆锥曲线的位置关系：

① 、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：(1)若△<0，则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△>0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点;

② 、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点)、相切(有一个公共点)、相离(没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。

3、 直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：

①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大);

②、利用点差法：例如在椭圆 内有一定点P(x0,y0),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A(x1,y1)、B(x2,y2) ，则A、B满足椭圆方程，即有 两式相减再整理可得：(x1+x2) (x1-x2)a2 = - (y1+y2) (y1-y2)b2;从而可化出k= y1-y2x1-x2 = (x1+x2) (y1+y2)?-b2a2 = x0y0?-b2a2;

对于双曲线也可求得：k= y1-y2x1-x2 = (x1+x2) (y1+y2)?

b2a2= x0y0?b2a2;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。

4、 解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：

1

①、解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式;

②、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法;

③、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。

典型例题

考点一 ：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.

例1.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 -4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.

【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.

考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.

例2：设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求 的值.

思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.

解法1：由已知，|PF1|>|PF2|，|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|= ，

若∠PF2F1为直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，可解得：|PF1|= ，|PF2|= ，这时 .

2

若∠F2PF1为直角，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，可解得：|PF1|=4，|PF2|=2，这时 .

【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质(如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等)是应对考试必备的基本功;在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex来求解.

考点3：有圆锥曲线的定义的问题

利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.

1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= (0

2、.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|).

M为动点，F1、F2为定点，a为常数.

第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即 =e(e>1).

F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.

3、 1.抛物线的定义

3

平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.

例3：已知某椭圆的焦点F1(-4,0)，F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且=10，椭圆上不同两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标.

思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.

解：(1)由椭圆的定义及已知条件知：2a=|F1B|+|F2B|=10，所以a=5,又c=3，故b=4.故椭圆的方程为 .

由点B(4，y0)在椭圆上，得|F2B|=|y0|= ，因为椭圆的右准线方程为 ，离心率 .所以根据椭圆的第二定义，有

.因为|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列， + ，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为

例4：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值.

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意 ∴b=1.∴所求椭圆方程为x23+y2=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①当AB⊥x轴时，|AB|=3，

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.由已知|m|1+k2=32， 得m2=34(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程，整理得

(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3(m2-1)3k2+1.

4

∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1

=12(k2+1)(3k2+1-m2)(3k2+1)2=3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2学

=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6(k≠0)≤3+122×3+6=4.当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立|AB|=2.当k=0时，|AB|=3，

综上所述，|AB|max=2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，S=12×|AB|max×32=32.

【名师点睛】： 在以直线与双曲线的知识为背景前提下，结合相应的平面几何知识点到直线距离、两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积，交点坐标问题。深刻体会代数法来解决解析几何的思想实质。

考点5：轨迹问题 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 例5. 设 ，点 的坐标为(1,1)，点 在抛物线 上运动，点 满足 ，经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,求点 的轨迹方程。

【解析】：由 知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 ， ， ，则 ，即 ①

再设 ,由 ，即 ，解得

5

②将①代入②式，消去 得 ③

【名师点睛】： 对于解析几何问题，首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算。同时要注意圆的参数方程的运用，对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺。

考点6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题 建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.

例6：已知直线 与椭圆 相交于A、B两点.(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段AB的长; (2)若向量 与向量 互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值.

解：(1)

∴椭圆的方程为 ?2分联立

?5分

(II)

【名师点睛】：本试题先直接发球轨迹方程，然后运用一问的结论进一步研究第二问，充分利用圆锥曲线的定义和余弦定理，结合不等式的思想来得到不等式关系，从而得到相关的结论。主要是体会焦点三角形的运用。

【名师点睛】：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.

考点7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.

例7：已知直线l：y=x+m，m∈R。(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程;(II)若直线l关于x轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线C：x2=4y是否相切?说明理由。

6

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想，满分13分。

【解析】：法一：(I)依题意：点 的坐标为 ，因为 所以 ，解得 ，即点 的坐标为(0，2)。从而圆的半径 故所求圆的方程为 。

(II)因为直线 的方程为 所以直线 的方程为

由 得 ，

(1)当 =1，即 =0时，直线 与抛物线C相切;

(2)当 ，即 时，直线 与抛物线C不相切;

综上，当 =1，直线 与抛物线C相切;当 ，直线 与抛物线C不相切; 法二：(I)设所求圆的半径为 ，则圆的方程可设为 ，依题意，所求圆与直线 相切于点 ，则 ，解得

所以所求圆的方程为

(II)同解法一。

【名师点睛】：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解;解法二，用韦达定理

突破训练

1、如图，设 是圆珠笔 上的动点，点D是 在 轴上的投影，M为 D上一点，且 (Ⅰ)当 的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为 的直线被C所截线段的长度。

【解析】：(Ⅰ)设M的坐标为 ， 的坐标为

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由已知得 在圆上， 即C的方程为

(Ⅱ)过点(3，0)且斜率为 的直线方程为 ，设直线与C的交点为 ，将直线方程 代入C的方程，得 ，

即 。

线段AB的长度为

注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。

2、设椭圆C: 过点(0，4)，离心率为 (Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标

3、在平面直角坐标系中，曲线 坐标轴的交点都在圆C上，(1)求圆C的方程;(2)如果圆C与直线 交于A,B两点，且 ，求 的值。

解：(Ⅰ)曲线

因而圆心坐标为 则有

半径为 ，所以圆方程是

(Ⅱ)设点 满足

解得： ，

4、设椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 满足 .(Ⅰ)求椭圆的离心率 ;(Ⅱ)设直线 与椭圆相交于A,B两点.若直线 与圆 相交于M,N两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程.

【解析】(Ⅰ)设 ， ( )，因为 ，所以 ，整理得

8

，即 ，解得 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,可得椭圆方程为 ,直线 的方程为 ,

A,B两点坐标满足方程组 ,消y整理得 ,解得 或 ,所以

A,B两点坐标为 , ,所以由两点间距离公式得|AB|= ,

于是|MN|= |AB|= ,圆心 到直线 的距离 ,

因为 ,所以 ,解得 ,所以椭圆方程为 .

5、如图，已知抛物线 ： 经过椭圆 ： 的两个焦点.(1)求椭圆 的离心率;(2)设点 ，又 ， 为 与 不在 轴上的两个交点，若 的重心在抛物线 上，求 和 的方程.

解：(1)因为抛物线 经过椭圆 的两个焦点 ， ，所以 ，即 ，由 ，所以椭圆 的离心率 .

(2)由(1)可知 ，椭圆 的方程为： 联立抛物线 的方程 得： ，解得： 或 (舍去)，所以 ，即 ，所以 的重心坐标为 .因为重心在 上，所以 ，得 .所以 .所以抛物线 的方程为： ，椭圆 的方程为： .

6、如题(21)图，椭圆的中心为原点0，离心率e= ，一条准线的方程是 (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P满足： ，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在定点F，使得 与点P到直线l： 的距离之比为定值;若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。

解析：(Ⅰ)由 解得 故椭圆的标准方程为

(Ⅱ)设 ， ,则由 得 ，即 ，因为点M,N在椭圆 上，所以

故

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，

设 分别为直线OM，ON的斜率，由题意知， ，因此 ，所以 ，所以P点是椭圆 上的点，设该椭圆的左右焦点为 ，则由椭圆的定义， 为定值，又因 ，因此两焦点的坐标分别为

7、已知平面内一动点 到点F(1，0)的距离与点 到 轴的距离的等等于1.

(I)求动点 的轨迹 的方程;(II)过点 作两条斜率存在且互相垂直的直线 ，设 与轨迹 相交于点 ， 与轨迹 相交于点 ，求 的最小值.

当且仅当 即 时， 取最小值16.

8、已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 斜率为1的直线 与椭圆 交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 。(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ)求 的面积。

9、已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足 (Ⅰ)证明：点P在C上;

(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

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第二篇：高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题(含答案)

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等比数列与等差数列概念及性质对比

1．数列的定义

顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．

数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．

数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．

2．等差数列的定义

顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．

这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．

3．等差数列的通项公式

等差数列的通项公式是：a_n= a₁＋（n－1）d ．             ①

这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a_n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．

从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．  

4．等差中项

A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：

，或2 A=a＋b．

显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列．

5．等差数列前n项的和

等差数列前n项和的公式是：，             ①

或                                   ②

公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．

公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．

公式②中的也可看作关于变量n的二次式（d≠0时），其图像是在二次函数：的图像上当x取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和的最大值或最小值问题提供了直观的背景．

6．等比数列的定义

顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．

和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．

7．等比数列的通项公式

等比数列的通项公式是：a_n= a₁q^n－1．                   ①

这里，一方面，可将a_n看作是n的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．

8．等比中项

G称作a与b的等比中项是指三数a，G，b，成等比数列．其数学表示是

，或 G²=ab．

显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

9．等比数列前n项的和

等比数列前n项和的公式是：

公式可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值．

公式

即．

从函数的观点看，S_n是关于qⁿ的一次式，

因此点（qⁿ，S_n）在直线上．