固定均匀弦振动的研究

XY弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。

[实验目的]

1.       了解均匀弦振动的传播规律。

2.       观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。

3.       测量弦上横波的传播速度。

4.       通过驻波测量，求出弦的线密度。

[实验仪器]

XY型弦音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。

[实验原理]

设有一均匀金属弦线，一端由弦码A支撑，另一端由弦码B支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动，假设波动是由A端朝B端方向传播，称为行波，再由B端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波。行波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码B到适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波腹。驻波的形成如图4-8-1所示。

设图4-8-1中的两列波是沿x轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图4-8-1可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。

下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿x轴正方向传播的波为行波，沿x轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在x=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为：

                

式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，x为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

                          4-8-1

由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振动幅为，即驻波的振幅只与质点的位置x有关，与时间t无关。

由于波节处振幅为零，即

         （k=0, 1, 2, 3, …… ）

可得波节位置：

                                                   （4-8-2）

而相邻两波节之间的距离为：

                         （4-8-3）

又因为波腹处的质点振幅为最大，即

                       （k=0, 1, 2, 3, …… ）

可得波腹的位置为：                                   （4-8-4）

这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于固定弦的两端是由弦码支撑的，故两端点成为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离L（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：

L=        （k=0, 1, 2, 3, …… ）。

由此可得沿弦线传播的横波波长为：

                                                        （4-8-5）

式中k为弦线上驻波的波腹数，即半波数。

根据波动理论，弦线横波的传播速度为：

                                           （4-8-6）

则：                                                  （4-8-7）

式中T为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

根据波速、频率及波长的普遍关系式，将4-8-5式代入可得：

                                          （4-8-8）

再由(4-8-6)、(4-8-7)式可得：

      （k=0, 1, 2, 3, …… ）            （4-8-9）

则：              （k=0, 1, 2, 3, …… ）            （4-8-10）

由上式可知，当给定 T、 ρ、 L时，频率 f只有满足该式时，才能产生驻波。为此，调节信号发生器的频率，使之与这些频率一致时，弦线产生共振，弦上便形成驻波。

[实验内容]

一、 用示波器观察弦振动现象和张紧弦线振动的简振模式。

1. 设置两个弦码之间的距离为60cm，在张力杠杆挂1kg的砝码(将砝码置于张力杠杆上不同的槽内可改变弦线的张力，如图4-8-3所示)，调整张力杠杆水平调节旋钮，使杠杆水平(张力杠杆水平是根据悬挂物质量精确确定弦的张力的必要条件，每改变一次砝码位置，都要调节张力杠杆水平调节旋钮，使张力杠杆保持水平)。

2. 在距弦码5cm处放置驱动线圈，置探测线圈于弦线中央(初始位置)。

3. 驱动线圈和接收线圈分别与函数信号发生器、示波器连接，如图4-8-2所示。

4. 设置示波器通道增益为5mV/cm，并由函数信号发生器的信号触发示波器。

5. 令函数信号发生器输出频率在100Hz~200Hz之间，非常缓慢地调整函数信号发生器的输出频率，当达到共振频率时，应当看到弦的振动及听到弦的振动引发的声音最大，示波器显示波形应当是清晰的正弦波，如果看不到振动或听不到声音，稍稍增大函数发生器的输出振幅或改变一下接收线圈的位置重新试验(注意：驱动线圈与接收线圈至少保持10cm的距离)。

6. 用示波器观察弦波现象，并验证张紧弦线振动的简正模式(L = kλ/2)。

二、测定金属弦线的线密度ρ和张紧弦线上横波的传播速度v

1. 选取一个固定的频率f，张力T由砝码的质量得，调节弦码以改变弦线长度L，使弦线上依次出现一个、两个、三个稳定且明显的驻波段，记录相应的f、k、L的值，由公式(4-8-9)计算弦线的线密度ρ。

2. 选取一个固定的频率f，改变张力的大小(通过改变砝码在张力杠杆上的位置改变张力)，分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg，在各张力的作用下调节弦长L，使弦线上出现稳定明显的驻波段。记录相应的f、k、L的值，由公式(4-8-8)计算弦线上横波的传播速度v。

3. 在张力一定的条件下，改变频率f分别为100Hz、120Hz、140Hz、160Hz、180Hz，移动弦码，调节弦长L，使弦线上出现2个稳定且明显的驻波段。记录相应的f、k、L的值，由公式(4-8-8)可间接测量出弦线上横波的传播速度。

[注意事项]

1. 改变挂在弦线一端的砝码后，要使砝码稳定后再测量。

2. 在移动弦码调整驻波时，驱动线圈应在两弦码之间，且接收线圈不能处于波节位置，要等波形稳定后，再记录数据。

[预习思考题]

1. 固定弦线的两端形成波节还是波腹？

2. 用示波器观察驻波时，接收线圈放任何位置都可以吗？

[思考题]

1. 张紧弦线上形驻波的条件是什么？

2. 线密度与弦线横波的传播速度有什么关系？

 

第二篇：弦振动研究

弦振动研究

【实验目的】

1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。

2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。

3．测量弦线的先行密度。

4．测量弦振动时波的传播速度。

【实验仪器】

弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。

实验仪器结构描述见图3-23-1

【实验原理】

驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。

当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为

当波到达端点时会反射回来，波动方程为

式中，A为波的振幅；为频率；为波长；为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为

这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。式中，是各点的振幅，它只与有关，即各点的振幅随着其与远点的距离的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为、频率皆为的简谐振动。

由式（3-23-3）可知，另，可得波节的位置坐标为

   

另，可得波腹的位置坐标为

   

由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。

在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。

即有            或     

式中，为弦长；为驻波波长；为半波数（波腹数）。

另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度取决于线密度和弦的张力，其关系为

又根据波速、频率与波长的普遍关系式，可得

由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度

如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度

如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力

如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力

【实验内容】

一、实验前准备

1．选择一条弦，将弦的带有铜圆柱额一端固定在张力杆U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

2．把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。

3．在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的为物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3-23-2所示。

二、实验内容

1．张力、线密度一定时，测不同弦长时的共振频率，并观察驻波现象和驻波波形。

（1）放置两个劈尖至合适的间距并记录距离，在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录质量及放置位置（注意，总质量还应加上挂钩的质量）。旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5～10cm处，把线圈放在弦的中心位置。

（2）将驱动信号的频率调至最小，以便于调节信号幅度。

（3）慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V（峰－峰值），即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率，记录这一频率。

（4）再增加输出频率，可以连续找出几个共振频率。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找到并记下波腹和波节的个数。

（5）改变弦长重复步骤3、4；记录相关数据于表3－23－1.

2.在弦长和线密度一定时，测量不同张力的共振频率。

（1）选择一根弦线和合适的砝码质量，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的数据于表3－23－2.

3.张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的密度。

（1）放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的弦长和张力等参数。

（3）换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的数据于表3－23－3。

【数据与结果】

表3－23－1 张力一定时不同弦长的共振频率

作波长与共振频率的关系图。

表3－23－2 弦长一定时不同张力的共振频率

作张力与共振频率的关系图，作张力与波速的关系图。

注：这里的共振频率应为基频，如果误记为倍频的数值，则将得出错误的结论。

【实验指导】

1.                如果驱动与接受传感器靠得近，将会产生干扰，通过观察示波器中的接收波形可以检验干扰的存在。当它们靠得太近时，波形会改变。为了得到较好的测量结果，至少两传感器的距离至少应大于10cm。

2.                悬挂和更换砝码时动作应轻巧，以免使弦线崩断，造成砝码坠落而发生事故。

【思考题】

1.      通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件和因素有关?

弦的长度，弦的张力，弦的密度

2.      试将按公式求得值与静态线密度比较，分析其差异及形成原因。

实验误差

3.       如果弦线有弯曲或者粗细不均匀，对共振频率和驻波的形成有何影响？

导致受力不均，使共震频率不稳定，从而不能形成驻波