参考答案

例题1、  9^n-1      

       练习1、1、4

     2、B  [解析]　·()^n－1＝，∴()^n－1＝＝()³∴n＝4.

   3、A [解析]　∵{a_n}是等比数列，a₁＋a₂＝3，a₂＋a₃＝6，∴设等比数列的公比为q，则a₂＋a₃＝(a₁＋a₂)q＝3q＝6，∴q＝2.   ∴a₁＋a₂＝a₁＋a₁q＝3a₁＝3，∴a₁＝1，

∴a₇＝a₁q⁶＝2⁶＝64.

   4、A  [解析]　a₄＝a₁q³＝q³＝8，∴q＝2，∴a₅＝a₄q＝16.

   5、C   [解析]　m－k＝(a₅＋a₆)－(a₄＋a₇)＝(a₅－a₄)－(a₇－a₆)

                      ＝a₄(q－1)－a₆(q－1)＝(q－1)(a₄－a₆)

                      ＝(q－1)·a₄·(1－q²)

                      ＝－a₄(1＋q)(1－q)²<0(∵a_n>0，q≠1)．

6、B [解析]　设公比为q，由已知得a₁q²·a₁q⁸＝2(a₁q⁴)²，即q²＝2，

因为等比数列{a_n}的公比为正数，所以q＝，故a₁＝＝＝，故选B.

7、B  [解析]　由条件知，∵∴a²>0，∴b<0，∴b＝－3

8、 aⁿ=Sⁿ-S^n-1=2ⁿ -1-[2^n-1 -1]=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，a_n²是以a₁²=1为首项，4为公比的等比数列；S=4ⁿ-1/3

     9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列，所以q³=(a+b-c)/(a+b+c) ，q²=(c+a-b)/(a+b+c)   

        q=(b+c-a)/(a+b+c)，q³+q²+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1

      （2）因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
            ∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.

 例题2、 解a_n-a_n-1=3^n-1   将n=2,3,4,5代入得：a?-a?=3¹
                                               a?-a?=3²
                                               a?-a?=3³
                                                 ...............
                                               a_n-a_n-1=3^n-1
                      将上面的式子相加得：a_n-a₁ = 3¹+3²+3³+.......+3^n-1

                                 a_n = 1+3¹+3²+3³+.......+3^n-1=(1/2)(3?-1)

练习1、C  [解析]　∵a₂，a₃，a₁成等差数列，∴a₃＝a₂＋a₁，

            ∵{a_n}是公比为q的等比数列，∴a₁q²＝a₁q＋a₁，

          ∴q²－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.   ∴＝＝＝.

    2、C   [解析]　∵a，b，c成等比数列， ∴b²＝ac>0. 

          又∵Δ＝b²－4ac＝－3ac<0，∴方程无实数根．

3、（a_n+2）/2=√(2S_n)      S_n=（a_n+2）²/8    S_n+1=（a_n+1+2）²/8    a_n+1=S_n+1-S_n=a_n+1²/8+a_(n+1)/2-a_n²/8-a_n/2
       a_n+1²/8-a_(n+1)/2-a_n²/8-a_n/2=0      a_n+1²-4a_n+1-a_n²-4a_n=0    a_(n+1)=a_n+4    a_n=-2+4n

例题3、 xS_n=x+3x²+5x³+7x⁴+...+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)xⁿ   ①
      因为 S_n=1+3x+5x²+7x³+9x⁴+...+(2n-1)x^(n-1)       ②                  
      ②-①得,(1-x)S_n=1+2[x+x²+x³+x⁴+.....+x^n-1]-(2n-1)xⁿ
             (1-x)S_n=1+2[(x-xⁿ)/(1-x)]-(2n-1)xⁿ
             (1-x)S_n=1+(2x-2xⁿ)/(1-x)-2nxⁿ+xⁿ

             (1-x)S_n=1+2x/(1-x)-2xⁿ/(1-x)-2nxⁿ+xⁿ
             (1-x)S_n=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xⁿ
             S_n={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xⁿ}/(1-x)

   练习1、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。(S₁₂-S₈)/(S₈-S₄)=(S₈-S₄)/S₄  

                     S₁₂-S₈=(S₈-S₄)²/S₄=(20-4)²/4=64       ∴S₁₂=64+20=84

    2、B [解析]　∵q²＝＝9，∴q＝±3，因此a₄＋a₅＝(a₃＋a₄)q＝27或－27

   3、B [解析]　设A＝a₁a₄a₇…a₂₈，B＝a₂a₅a₈…a₂₉，C＝a₃a₆a₉…a₃₀，则A、B、C成等比数列，公比为q¹⁰＝2¹⁰，由条件得A·B·C＝2³⁰，∴B＝2¹⁰，∴C＝B·2¹⁰＝2²⁰.

   4、A  [解析]　设b_n＝a，则＝＝()²＝q²，∴{b_n}成等比数列；

  ＝2a_n＋1－a_n≠常数；当a_n<0时lga_n无意义；设c_n＝na_n，则＝＝≠常数．

  5、D [解析]　a₂a₁₀＝a₅a₇＝6.   由，得或.

∴＝＝或.故选D.

  6、D  [解析]　消去a得：4b²－5bc＋c²＝0，

∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.

  7、 B[解析]　设前三项分别为a₁，a₁q，a₁q²，后三项分别为a₁q^n－3，a₁q^n－2，a₁q^n－1.

所以前三项之积aq³＝2，后三项之积aq^3n－6＝4.两式相乘得，aq^3(n－1)＝8，即aq^n－1＝2.

又a₁·a₁q·a₁q²·…·a₁q^n－1＝aq＝64，即(aq^n－1)ⁿ＝64²，即2ⁿ＝64².所以n＝12.

  8、　0<q<1[解析]　∵∴∴0＜q＜1.

  9、 [解析]　∵a₁，a₃，a₉成等比∴a＝a₁a₉，即(a₁＋2d)²＝a₁(a₁＋8d)，∴d＝a₁，∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝nd，∴＝＝.

  10、3或27 [解析]　设此三数为3、a、b，则，解得或，

∴这个未知数为3或27.

   11、由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得或 

        所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.

   12、A [解析]　解法1：a＝log₂3，b＝log₂6＝log₂ 3＋1，c＝log₂ 12＝log₂ 3＋2.∴b－a＝c－b.

   13、C  [解析]　依题意，a₁，a₃，a₅，a₇，a₉，a₁₁构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a₁₁＝a₁×2⁵＝64，a₁₂＝a₁₁＋2＝66.故选C.

   14、A[解析]　设等差数列首项为a₁，公差为d，则q＝＝＝＝ 

            ＝＝.故选A.

  15、D [解析]　由题意可知1是方程之一根，若1是方程x²－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x₃，x₄是方程x²－10x＋n＝0的根，则x₃＋x₄＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x₃、4、x₄，公比为2、x₃＝2、x₄＝8、n＝16、＝；若1是方程x²－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x²－5x＋m＝0之两根为x₁、x₂则x₁＋x₂＝5，无论什么顺序均不合题意．

  16、4,12,36 [解析]　∵a、b、c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，  即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.

 17、　  [解析]　本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a_n＝(－3)^n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a_n≥8，则n为奇数且(－3)^n－1＝3^n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p＝1－＝.

18、原计划三年产值成等差数列，设为a－d，a，a＋d，d>0，由三年总产值为300万元，得a＝100万元，又a＋10－d，a＋10，a＋11＋d成等比数列，得(a＋10)²＝(a＋10－d)(a＋11＋d)，∴(110－d)(111＋d)＝110²?d²＋d－110＝0?d＝10，或d＝－11(舍)．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．

19、(1)依题意：S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，∴当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1.

      当n＝1，S₁＝a₁＝1，∴a_n＝2^n－1(n∈N^*)．

  (2)因为b_n＝log₂a_n－12＝n－13，所以数列{b_n}是等差数列．∴T_n＝＝(n－)²－.

   故当n＝12或13时，数列{b_n}的前n项和最小．

  (3)∵T_n－b_n＝－(n－13)＝＝<0，

   ∴1<n<26，且n∈N^*，所以不等式的解集为{n|1<n<26，n∈N^*}．

 

第二篇：等比数列知识点整理与经典例题讲解

等比数列复习

1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。

如 ※（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____（答：）；

（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。

2、等比数列的通项：或。

如等比数列中，，，前项和＝126，求和.（答：，或2）

3、等比数列的前和：当时，；当时，。

如 等比数列中，＝2，S₉₉=77，求（答：44）；

特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。

4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为…，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。

如 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当时，则有，特别地，当时，则有.

如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则      （答：10）。

(2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列.

如（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　. （答：）；

（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40）

(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.

(4) 当时，，这里，但，是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。

如若是等比数列，且，则＝      （答：－1）

※(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为­­_____（答：－2）

※(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.

(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列。

如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是         （答：②③）