不定积分

一、原函数

定义1  如果对任一，都有

                或

则称为在区间I 上的原函数。

例如：，即是的原函数。

      ，即是的原函数。

原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。

注1：如果有一个原函数，则就有无穷多个原函数。

设是的原函数，则，即也为的原函数，其中为任意常数。

注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则与之差为常数，即（C为常数）

注3：如果为在区间I 上的一个原函数，则（为任意常数）可表达的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2  在区间I上，的带有任意常数项的原函数，成为在区间I上的不定积分，记为。

如果为的一个原函数，则

            ，（为任意常数）

三、不定积分的几何意义

 不定积分的几何意义如图5—1所示：

                      

图 5—1

设是的一个原函数，则在平面上表示一条曲线，称它为的一条积分曲线．于是的不定积分表示一族积分曲线，它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线，其斜率都等于．

在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式，再从中确定一个满足条件  (称为初始条件)的原函数．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点的积分曲线．

四、不定积分的性质（线性性质）

  

  

五、基本积分表

∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a ＞ 0 且 a ≠ 1

∫ e^x dx = e^x + C

∫ cosx dx = sinx + C

∫ sinx dx = - cosx + C

∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

        = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

        = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

        = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C  

        = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

∫ sec^2(x) dx = tanx + C

∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

∫ secxtanx dx = secx + C

∫ cscxcotx dx = - cscx + C

∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

六、第一换元法（凑微分）

设为的原函数，即 或

如果 ，且可微，则

         

即为的原函数，或

    

因此有

定理1  设为的原函数，可微，则

                            (2-1)

公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

常用凑微分公式

          

           

          

          

  

        

      

      

      

配方 

七、第二换元法

定理2  设是单调的可导函数，且，又设  具有原函数，则               (2-2)

其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。

           

           例1 求 ， 

解：令 ，，则

     ，，因此有

    

        

        例2   求   ，

解：令 ，，则

       ，，因此有

       

其中。用类似方法可得

             

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

八、分部积分法

设 ，，则有

               

或

                  

两端求不定积分，得

             

或 

                

即                                         (3-1) 

或                                        (3-2)

公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

例1． 求 

解： 

              

例2． 求 

解： 

            

注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。

              

            例3     求

解： 

             

           

          例4   求

解：  

                 

注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为，其余部分取为。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：

九、几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。

有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

(3)简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。

参考文献

1.百度文库 求不定积分的方法及技巧

2.百度文库 高职不定积分教案

3.百度文库 不定积分的基本公式

4.百度文库 不定积分的常用求法

5.百度文库 不定积分解法总结

 

第二篇：定积分微积分练习题总结

定积分、微积分练习：

1. （20##年广东北江中学高三第二次月考）=         

2. (20##学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题)        ．

3．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是(　　)

A．a＜c＜b                 B．a＜b＜c

C．c＜b＜a                 D．c＜a＜b

4．已知a∈[0，]，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.

5．(2x－1)dx＝－8，则a＝________.

6.已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.

7．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.

8．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则

f(－x)dx的值等于(　　)

A.                         B.

C.                         D.

9．若等比数列{an}的首项为，且a4＝ (1＋2x)dx，则公比等于________．

10. =                     

11.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于                      (　　)

A．0       B．4       C．8        D．16

12.已知f(x)为奇函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于                      (　　)

A．0       B．4       C．8        D．16

15. .设 则=（    ）

A.              B.              C.                     D.不存在

16. 已知,当=       时,  成立

17．函数y＝(cost＋t2＋2)dt(x＞0)(　　)

A．是奇函数           B．是偶函数

C．非奇非偶函数       D．以上都不正确

18.(2010·烟台模拟)若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是               (　　)

A．1　     B．2         C．－        D．0

18．设f(x)＝|x2－a2|dx.

(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；

(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．

求解析式

19．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

20．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________．

曲线面积问题：

　　利用定积分求平面图形面积的步骤：
　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
　　（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
　　（3）写出定积分表达式；
　　（4）求出平面图形的面积.

21. 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.

22．(原创题)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)

A．f(x)dx

B．|f(x)dx|

C．f(x)dx＋f(x)dx

D．f(x)dx－f(x)dx

 

 

23．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合

图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是     (　　)

A．1      B.      C.        D．2

24.如图，阴影部分的面积是                                                     （   ）

       A．                  B．

       C．                    D．

25.如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积．

26．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成图形的面积为(　　)

A.                 B.

C.ln2                D．2ln2

27．函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.                         B．1

C．2                       D.

28．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.

(1)求y＝f(x)的表达式；

(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

29．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，

记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积

分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．

30. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.

31. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.

32. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

33. 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

利用定积分解决物理问题
　　①变速直线运动的路程
　　　作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积
　　　分，即.
　　②变力作功
　　　物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
　　　，那么变力所作的功.
 

34．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是(　　)

A．249米             B．261.2米

C．310.3米            D．450米

35.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]的位移为                                                 (　　)

A.　　　　　B.        C.           D.

36．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_    ___米     

                                                          

37. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

38．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(　　)

A．0.05 J     B．0.5 J     C．0.25 J      D．1 J