弹性力学关于应力变分法问题

一、起源及发展

1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题； 1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。 
古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（Minimax Theory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为           假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

                                        （a）

在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足                                                                        （b）                                            

则应变余能的变分应为

，，   

，，

将上式代入，得

再将几何方程代入，得

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

最后可得

再将（a）、（b）代入，即得

                    

这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。

最小余能原理：

上式也可以改写为：

（2）、应力变分法

由推到出的应力变分方程，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程解决这些系数，应力分量一般可设为：

                             （c）

其中是互不依赖的m个系数， 是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，是满足“没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数A m如何取值，总能满足平衡微分方程和应力边界条件。

注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现 。

如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程

得，

即：     （d）

应变余能是的二次函数 ，因而方程（d）将是Am的一次方程 。这样的方程共有m个，恰好可以用来求解系数，Am从而由表达式（c）求得应力分量。

 如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程（11-18），即

 

在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界，面力的变分与应力的变分两者之间的关系即：

带入方程的右边积分后，将得出如下的结果：

其中Bm是常数，另一方面，我们有：

因而得：

这将仍然是的一次方程而且总共有m个 ，仍然可以用来求解系数，从而由表达式（c）求得应力。

（3）、应力函数方法

由于应力分量的数量有点多，确定起来较为困难，通常用应力函数方法。

在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设为：

                            

其中为互不依赖的m个系数。 这样就只需使给出的应力分量满足实际的应力边界条件，并使给出的应力分量满足无面力时的应力边界条件。

    在平面应力问题中， 有， 而且不随坐标z而变。在z方向取一个单位厚度，则用应力分量表示的应变余能表达式为

        

对于平面应变问题，

             

如果所考虑的弹性体是单连体，体力为常量 ，应力分量应当与无关 ，可以取=0， 于是平面应力情况下的表达式和平面应力情况下的表达式都简化为

即得用应力函数表示应变余能的表达式

     

在应力边界问题中，因为面力不能有变分，

应为应力分量以及应变余能的变分是通过系数Am的变分来实现的，所以上式归结为

将将应力函数表达式代入，即得

   

可以用来决定系数Am，从而确定应力函数，再由应力函数求得应力分量。

由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。

应力函数法的要点是要找到满足全部边界条件的应力函数，二这种函数一般任然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以应力方法的应用在这一点上受到极大的限制。

（4）、典型例题：

例1：设有宽度为2a，高度为b的矩形薄板，左右两边和下边被固定约束，上边的位移被给定为，不计体力。试求薄版的位移分量和应力分量。

解：取坐标系底部为x轴，对称轴为y轴，则该问题是一个轴对称问题——及约束情况，几何形状以及所受的外来因素都对称于某个坐标轴。

本题中，对称轴显然是y轴。这样，位移u,v关于y轴对称。

     首先考察位移u：

 薄板左右两边：（说明u中含有项或项）

 薄板下边：（说明u中含有（y-0)项）

 薄板上边：（说明u中含有（y-b)项或(b-y)项）

 所以u所以表达成：（这里m=1,即取一个系数）

 由此可得u,v的表达式为：

 

可以满足位移边界条件：

由于u是x的奇函数，v是x的偶函数，对称条件满足。

此外，由（i）得：

即

由

例2：已知悬臂梁，抗弯刚度为EI，求最大挠度值。

解：设

满足固定端的边界条件。

在不考虑剪切效应时，直杆弯曲的应变能为，                         

下面用最小势能原理来确定参数，

由最小势能原理

三、总结与思考

所谓弹性力学的变分解法就是基于力学能量原理求解弹性力学的变分方法，这种方法从其本质而言，是要把原来在给定的边界条件下求解的微分方程组的问题变为泛函求极值的问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又可变成函数的极值问题，因而最终把问题归结为求解线性代数方程组。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

应力变分法在力学领域内同样拥有很高的地位，这正说明了力学在学术界的重要地位，通过应力变分法地学习，许多难题将更容易得到解答，所以，在以后的学习生活中，我们将不会停止对力学的探究和学习，相信力学对我们的影响将是巨大的。

参考文献：【1】弹性力学 第四版 徐芝纶 高等教育出版社

          【2】弹性力学复习解题指导致 王俊民 同济大学
         【3】弹性力学理论概要与典型题解 王光钦 西南交通大学出版社
         【4】弹性力学内容精要与典型题解 刘章军　水利水电出版社

 

第二篇：免费最给力20xx-20xx学年度个人总结

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20##-20##学年度个人总结

20##-20##学年度我担任高三9、10两个班的语文教学工作，并任高三语文备课组组长，同时兼任顺义区高三语文兼职教研员。现将本年度的工作总结如下：

一．思想上积极要求进步，思想端正，工作兢兢业业，踏踏实实，努力适应新课改的变化，并努力践行，以严肃认真的态度对待每一项工作。

二．教育教学方面：

1.用全新的教育教学理念进行教学改革。

从参加新课程培训到实施课程改革以来，我反复学习有关的教育教学理论，深刻领会新课标精神，认真反思自身教学实际，研究学生，探究教法，逐步树立起了以学生终身发展为目的的教学思想，树立起以教师为主导，学生为主体的教学理念，在课堂教学中积极探索新思路，新模式，激发学生的学习积极性，收到了较好的效果。

2.认真研究各课改省份高考题，研究高考资料，认真组织备课组进行复习研讨，制订了周密的复习计划。

在正式开展复习之前，针对2010高考的新形势，认真研读考纲和考试说明，关注改革省前几年的改革方向。积极参加市区两级教研活动，每次活动之后，我都要组织本组教师认真领会其精神，力争把新高考的要求落实到每个专题中去。在专题复习中，做到集思广益，每个专题都要在集体研讨的基础上，深入领会，细心吸收，精心选题，力争使全组共同提高。

3.用好课本及复习资料，扎实复习。

高考语文虽然很少直接考课本上的知识，但基础知识均与课本有关。尤其是字词、文言实虚词等，我们逐一过关；背诵更是不敢掉以轻心，我组织我们备课组成员细心查证每一段背诵篇目，力争给学生一套最准确的复习篇段，认真检查，逐篇过关，后期更是每个人发挥自己的能力，每人出十套以上的背诵练习，绝不能留下背诵死角。

近年来高考作文不乏化用课本素材的优秀范例，我们将课本中的材料从备考角度进行分类，将其化为学生的写作素材，同时注意搜集时政、感动中国等优秀材料印发给学生，为学生作文提供了丰富的素材。

4.用细致的工作架起师生心灵沟通的桥梁，鼓起学生自信拼搏的勇气，确定学生奋斗的具体目标。

由于今年我教的是两个平行班，相对来讲学生学习水平较低，学习自觉性较差。课堂上我动之以情，晓之以理，鼓励学生保持自信，使学生保持强烈的进取心和求知欲，课下利用作业批语、短信、谈话等形式对学生出现的问题及时发表看法，与学生交流，给予鼓励。尤其是下半学期我所带的班分成了文化课和艺体类两个班，学生水平参差不齐，给教学带来了很大的困难，尤其是艺术生，由于脱课现象十分严重，有时一个问题要分为几次反复复习，为了学生，我没有丝毫怨言。对于尖子生和艺术生以及学困生，哪类我都没有放弃，对于他们的心理困惑一视同仁，认真开导 ，有效的协助班主任进行班级工作管理。

三．履行职责情况：

这一学年，我认真履行了一名高三语文教师以及语文备课组长的职责，努力抓好自身及备课组的工作，较为圆满的完成了高三语文教学。

会考合格率达到96％以上。

高考平均分文科达到95.7分，理科达到93.11分的较为理想的成绩，保住了理科在全区排名第五的位置。

到兖州一中和杜郎口中学参观后，有了深刻感受，撰写了参观体会《争》发表在校《教育信息》上，并率先在全校语文教研组上了一节《古诗鉴赏》示范课。

成功举办了一节由杨曦老师执教的现代文阅读散文部分的区级研究课，获得教研员老师及各校老师的好评。

在区青年教师基本功大赛中，配合教研组长李贵明老师和高一主任李海军老师听课辅导，参赛教师郭跃伟获得区级一等奖，杜娟和徐鹏哲两位教师获得区级二等奖。