弹性力学总结

第一章 绪论

一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。

二、弹性力学的基本量

1、外力

（1）体力

（2）面力

2、内力——应力

3、应变

4、位移

以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。

三、弹性力学中的基本假定

1、连续性

2、完全弹性

3、均匀性

4、各向同性

以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。

5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）

要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。

习题举例：

1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（  A  ），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。

A．应力、应变和位移；                B．弯矩、扭矩和剪力；

C．内力、挠度和变形；                D．弯矩、应力和挠度。

2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（   C ）。

A．体力和应力；                      B．应力和面力；

C．体力和面力；                      D．应力和应变。

3、重力和惯性力为（ C ）。

A．应力；                            B．面力；

C．体力；                            D．应变。

4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。

A．应力；                            B．面力；

C．体力；                            D．应变。

5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。

A．，；        B．，；

C．，；        D．，。

6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ B  ）假定。

A．完全弹性；    B．连续性；   C．均匀性；  D．各向同性。

7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。

A．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；

B．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；

C．连续性，均匀性，各向同性和小变形；

D．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。

8、弹性力学的研究中，根据（ C ）假定，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便地用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。

   A．完全弹性；    B．连续性；    C．小变形；    D．各向同性。

第二章 平面问题的基本理论

一、两类平面问题的概念

1、平面应力问题

2、平面应变问题

要求掌握两类问题的条件及应力、应变特点，对给定的问题（图形）会判断属于哪类问题。

二、平面问题的基本方程

1、平衡微分方程：式（2-2）

2、几何方程：式（2-8）

3、物理方程：式（2-12）

要求熟记三套方程，并掌握如下问题：

（1）推导各套基本方程分别应用了哪些基本假定？（习题2-7）

（2）各方程表达了哪些变量之间的关系？

（3）切应力互等定理及其推导（习题2-5），平衡微分方程的推导。

（4）两种平面问题的物理方程是不同的，其转换关系。

（5）弹性力学平面问题基本方程的个数，基本未知函数的个数。

三、平面问题中一点的应力状态

1、了解什么是一点的应力状态

2、已知物体中一点的应力，会求通过该点的任一斜截面上的应力，式（2-4）、式（2-5）。

3、掌握主应力、主平面、主应力方向的概念，已知物体中一点的应力，会求主应力及主应力方向，式（2-6）。（习题2-15）

4、了解最大、最小正应力和最大、最小切应力的大小及其所在平面。

四、边界条件 圣维南原理

1、边界条件分类：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

2、掌握位移边界条件表示的是边界上位移与约束之间的关系，对所给的位移边界能写出其位移边界条件。

3、掌握应力边界条件表示的是应力分量与面力分量之间的关系，对所给的应力边界能写出应力边界条件。熟记式（2-15）。

4、掌握圣维南（Saint-Venant,A.J.C.B.de）原理的基本原理：使用条件、方法、效果。

5、掌握圣维南原理的应用：在局部边界（小边界）用近似的三个积分的应力边界条件代替严格的边界条件。（习题2-8、2-9、3-13）

五、求解平面问题的方法

1、位移法：按位移求解的方法，以位移分量为基本未知函数，应变相容方程能自行满足。（习题2-10）

2、应力法：按应力求解的方法，以应力分量为基本未知函数。通常只求解全部为应力边界条件的问题。为保证从几何方程求得连续的位移分量，需补充应变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分必要条件。对于多连体，只有再加上位移单值条件，才能使物体变形后仍保持为连续体。（习题2-11）

3、常体力情况下，按应力求解平面问题以应力函数（又称艾里（Airy,G.B.）函数）为基本未知函数。习题（2-12）

4、相容方程，式（2-20）、式（2-21）、式（2-22）、式（2-23）、式（2-25），掌握各方程的表达形式及使用条件。式（2-20）的意义。

了解拉普拉斯（Laplace,P.）算子的形式：。

5、应力函数与各应力分量的关系，熟记式（2-24）。

6、当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，就不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量，以及形变和位移，却不一定相同）。

举例说明，如何运用以上结论，为弹性力学解答在工程上的应用和实验应力提供极大方便。

第三章 平面问题的直角坐标解答

一、按应力函数求解平面问题

使用的基本公式：

1、相容方程，式（2-25）。

2、由应力函数求应力分量，式（2-24）。

3、应力边界条件，式（2-15）。

二、逆解法

掌握须用逆解法求解的题目类型，逆解法的解题步骤。不需死记，要求会求解具体问题。（习题3-1、3-2、3-3、3-4）。

三、半逆解法

1、掌握须用半逆解法求解的题目类型，半逆解法的解题步骤。不需死记，要求会求解具体问题。

2、掌握三种设置应力函数的方法：

（1）由多项式叠加凑出（如纯弯曲矩形梁的求解）；

（2）由材料力学应力分析解答导出（简支梁受均布荷载的求解，习题3-5、3-11）；

（3）从量纲分析法得出（楔形体受重力和液体压力的求解，习题3-8）。

3、有时题目中直接给出了假设的应力函数，用半逆解法求解。（习题3-6、3-7、3-10）

第四章 平面问题的极坐标解答

一、极坐标中的基本方程

1、掌握极坐标与直角坐标的区别。

2、了解极坐标中的平衡微分方程、几何方程、物理方程的推导方法及方程的形式。

二、轴对称应力、轴对称位移

1、掌握轴对称的概念。

2、掌握在轴对称应力状态下应力的特征。

3、了解轴对称位移状态下位移的特征（习题4-3）。

4、了解轴对称应力的一般解答及相容方程的形式，式（4-9）、式（4-11）

三、圆筒或圆环受均布压力

1、掌握求解轴对称问题（圆环或圆筒受均布压力）的方法。

2、了解多连体位移单值条件及其使用方法。

3、了解什么是拉梅（Lame,G.）解答，即拉梅解答指的是对什么问题的解答。

四、用极坐标求解问题

1、要求会写出受力体的极坐标的应力边界条件，（圆筒或圆环受均布压力的问题、习题4-9、4-12）

2、逆解法，（习题4-8）。

3、半逆解法，（习题4-9）。掌握用量纲分析法设应力函数（习题4-12）。

第七章 空间问题的基本理论

一、基本方程和边界条件

1、掌握一般空间问题中各类未知函数的数量、各种基本方程的数量。

2、了解一般空间问题平衡微分方程、几何方程、物理方程的形式。

3、了解一般空间问题位移边界条件和应力边界条件的形式。

4、什么是体应变？熟记体应变的表达式，式（7-10）和式（7-11）。

5、什么是体积应力？体积应力与体应变之间有何关系？式（7-13）。什么是体积模量？

二、物体内任一点的应力状态

1、掌握：在受力物体内的任意一点，究竟是否存在着主应力？存在几个主应力？它们之间有什么关系？

2、掌握什么是第一应力不变量。

3、在受力物体内的任意一点，最大、最小正应力、最大、最小切应力分别与主应力是什么关系？

三、轴对称问题

1、什么是空间轴对称问题？

2、在描述空间轴对称问题中的应力、形变及位移时，宜采用什么坐标？为什么？