第9章 二次根式

【学习目标】

1.了解二次根式的相关概念；

2.了解二次根式加、减、乘、除运算的法则；

3.会进行有关二次根式的简单四则运算。

【自主复习】

任务一:阅读课本第127－128页内容，思考并回答课本中所提出的问题

任务二:根据下面知识网络回顾本章知识

【典型例题】

A.x≥0 B.x≠11 C.x≥0且x≠ D.一切实数 22

1

结果为（ ）

A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b

【巩固训练】

一、选择题：（每小题3分，共3 0分）

1.若x?2有意义，则x满足条件是（ ）

A.x≥2 B.x＞2 C.x＜2 D.x≤2

2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）

A.?9 B. C.x?1 D.?x2?1

3.计算?2的结果是（ ）

A.6 B. C.2 D.2

4.下列二次根式中，与能合并的是（ ）

A.24 B. C.96 D.3

4

5.若(x?3)2?x?3，则x的取值范围是（ ）

A.x?3 B.x?3 C.x?3 D.x?0

6.以下运算错误的是（ ） A.?5??5 B.??20 C.22?5?6 D.5?52

7.对于二次根式x2?9，以下说法不正确的是（ ）

A.它是一个正数 B.它是一个无理数

C.它是最简二次根式 D.它的最小值是3

8.已知24n是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

2

9.

） C.8到9之间 D.9到10之间 A.6到7之间 B.7到8之间

10.

1?2a，则（ ）

A.a＜1111 B.a≤ C.a＞ D.a≥ 2222

二、填空题：（每小题3分，共30分）

211.计算：(?6) ；

12.化简：2ba??。 a18b

5?11 (填写“<”或“>”)． 2213.比较大小：25________2 (填写“<”或“>”)； 14.比较大小：

15.计算：252?242?

16.化简：?a3b??b?0?。

x2?1成立的条件是18.已知x?2?y?5?0，则， 17.等式x?1?x?1?

19.如果两个最简二次根式a?12a?3能合并，那么a?。

20.（2011山东枣庄，16，4分）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b=a?b，如3※

?8※12= ． a?b三、解答题：（共40分）

21.计算：（每小题5分，共20分）

（1）25?3?75?42 （2）2?

（3）(5?6)(?6) （4）

22.（6分）先化简，再求值：(a?)(a?3)?a(a?6),其中a?

3 13?2 242x19x?6?2x 34x5?1 。 2

23.（6分）实数a、b在数轴上的位置如图2所示。 化简：a2?b2?(a?b)2。 图2

24.（8分） 如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

CQP4

 

第二篇：20xx年人教版八年级数学下知识点总结

第十六章   二次根式

1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件：                大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：：?，?

   附：具有非负性的式子：?；?；?

4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；  ⑵被开方数中不含分母；  ⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被          相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：

（1）（）2= （≥0）；              （2）

7.二次根式的运算：

（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；  （b≥0，a＞0）．

（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

第十七章   勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c，那么。

应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。

    应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）

3、勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

4.直角三角形的性质  

  （1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

6.证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

7、证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

第十八章   平行四边形

一．平行四边形 

1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 

 

2．平行四边形的性质 

    角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

    边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

    对角线：平行四边形的对角线互相平分； 

    面积：①S=底高=ah；         

3．平行四边形的判定方法： 

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；    

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 

?一组平行且相等的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；

二、特殊的平行四边形

（一）矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

2、矩形的性质

     ①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；

3、矩形的判定：

Þ四边形ABCD是矩形.

（二）菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、菱形的性质：

①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；

3、菱形的判定方法：

Þ四边形四边形ABCD是菱形.

（三）正方形

1、定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形

2、正方形的性质：

①边：四条边都相等；②角：四角都是直角； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。

3、正方形的判定方法：

Þ四边形ABCD是正方形.

(四）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

如图:∵DE是△ABC的中位线

     ∴DE∥BC，DE=BC

（五）几种特殊四边形的面积问题 

① 设矩形ABCD的两邻边长分别为,b，则=ab． 

② 设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为,，则= 

③ 设正方形ABCD的一边长为，则；若正方形的对角线的长为，则

第十九章 一次函数

一.常量、变量：

     在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量  。

二、函数的概念：

     函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

    函数的判断：对每一个自变量x是否只有唯一的一个函数值和它对应。

三、函数中自变量取值范围的求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用二次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

五、用描点法画函数的图象的一般步骤（一般取五个点）

   1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）

   注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

   2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

   3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：

    （1）列表法    （2）图像法  （3）解析式法

七、正比例函数

1、定义：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

   特征：（1）k为常数，且k≠0

        （2）自变量的次数是1

         (3)自变量的取值范围为全体实数。

2、图象:

   （1)正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。必过点：（0，0）、（1，k）

   (2)性质:当k＞0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。

八、一次函数

1、定义：一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.        

当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

   特征：    （1） k不为零

             （2）x指数为1

             （3） 自变量的取值范围为全体实数

           （4）b取任意实数

2、图象：

（1）一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）

（2）图像的平移： 当b＞0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b＜0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

（3）必过点：（0，b）和（-，0）

（4）一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.

九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　　（3）解方程得出未知系数的值；

　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

十、当直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行时，k1=k2且b1b2

十一、一次函数与方程、不等式

1.  一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．

2.  求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标

3.  一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．

4. 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．

 5.一次函数与二元一次方程组：

解方程组

从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数值相等．并求出这个函数值

  

解方程组                   从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.

第二十章 数据的分析

1.平均数：

（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据，则它们的算术平均数为

                         .

（2）加权平均数： 

若在一组数字中，的权为，的权为，…，的权为，那么

              叫做，，…的加权平均数。

其中，、、…、分别是，，…的权.

 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

   权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

  4.平均数中位数众数的区别与联系

相同点：平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

不同点：

1）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

2）、特点不同

平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。

3）、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的变化范围。

6.方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，…，我们用它们的平均数，即用

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。　

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

标准差：方差的算术平方根，即