矩阵分析期末复习

1. 判断一个集合是否为线性空间

只需要验证2条：加法封闭性； 乘法封闭性

例：

1）    

2）  

3)

2.  判断一组基是否为标准正交基

验证2条：各个向量的模是否为1； 两两向量内积是否为0

例：a₁ = (0,1,0)， a₂ = (, 0, )，a₃ = (, 0, )

构成R³的一个标准正交基，因为：

| a₁ | = | a₂ | = | a₃ | = 1

< a₁ , a₂> = < a₁ , a₃ > = < a₂ , a₃ > = 0

3.  求一个线性变换的核T^-1（0）、象集T(V)

例：

(1)证明T(x₁, x₂, … ,x_n) = (0, x₁, x₂, …, x_n-1)是线性空间Pⁿ的线性变换且Tn = 0 (零变换).

(2)求T的核T^-1（0）的维数、象集T(V)的维数

证明：

（1）     由线性变换的定义，易证T是线性变换，又因

T²(x₁, x₂, … ,x_n)

= T(0, x₁, x₂, …, x_n-1)

= (0, 0, x₁, x₂, …, x_n-2)

…

= Tⁿ(x₁, x₂, … ,x_n) = (0, 0, …, 0)

即Tⁿ = 0（零变换）

（2）     若T(x₁, x₂, … ,x_n) = (0, x₁, x₂, …, x_n-1) = (0, 0, …, 0)

则x₁ = x₂ = … = x_n-1 = 0.

即T^-1（0）为由一切形如(0, 0, …, x_n)的向量构成的子空间，它是一维子空间，(0, 0, …, 1)是它的基。

4. 用最小二乘法解方程组

例：用最小二乘法解下列方程组

x₁+x₂ = 1

x₁+x₃ = 2

x₁+x₂+x₃ = 0

x₁ +2x₂ – x₃ = -1

解：

系数矩阵A = ，其转置A^T = ，B =

利用公式A^TAX = A^TB，有

A^TAX =   = = A^TB 

于是求得最小二乘解为：

x₁ = ,  x₂ = - ,  x₃ = -

5.  求矩阵的史密斯标准型

初等行、列变换

例：求多项式矩阵A( λ ) = 的史密斯标准形

答案：d₁(λ) =1，d₂(λ) =λ， d₃(λ) =λ(λ-1)( λ-2)

6.  求矩阵的约当标准形

例：求矩阵A的约当标准形，其中

A =

step1:先求矩阵A的史密斯标准形;

step2:再写出不变因子、初级因子，令初级因子等于0，求解;

step3:最后写出约当标准形.

7. 判断一个矩阵级数是否收敛

方法一：用矩阵的谱半径来判断

方法二：当谱半径失效时，用约当标准型来判断

8. 求带参数的矩阵函数

9. 向量的范数、矩阵的范数

向量的范数：

例：x = (1, -2, 3)^T

║x║₁  = |1| + |-2| + |3| = 1 + 2 + 3 = 6

║x║₂  = (|1|² + |-2|² + |3|²)^1/2 = (1 + 4 + 9) ^1/2 =

║x║ = max(|1|, |-2|, |3|) = max(1, 2, 3) = 3

矩阵的范数：

例：A =

║A║₁  = max(|1|+|-1|+|0|,|2|+|2|+|1|,|0|+|-1|+|1|) = max(2, 5, 2)= 5  列和范数

║A║ = max(|1|+|2|+|0|,|-1|+|2|+|-1|,|0|+|1|+|1|) = max(3, 4, 2)= 4 行和范数

║A║₂= max (A^HA)  谱范数

A^HA =    =  

特征方程为：λE - A^HA =  = 0

得 λ₁ = 9.1428 ， λ₂ = 2.9211, λ₃ = 0.9361

所以║A║₂ =  = 3.0237

║A║_F = (1²+2²+0+(-1)²+2²+(-1)²+0+1²+1²) = 1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 13

10.    利用盖尔圆盘定理求特征值的取值范围

例：估计矩阵A =  的特征值范围.

解：圆盘定理所指的四个圆盘为：

|z-1|≤ 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6

|z-3|≤ 0.5 + 0.1 + 0.2 = 0.8

|z+1|≤ 1 + 0.3 + 0.5 = 1.8

|z+4|≤ 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6

11.    求广义逆A+(行满秩、列满秩)

例：求A =  的广义M-P逆矩阵。

  

 

第二篇：矩阵分析课程总结