振动：

1.         简谐振动：振动方程形如或的振动。

2.         如何求/判断一个物体的振动是简谐振动/周期。

步骤一：在平衡位置处受力分析。

步骤二：移动一个微小位移或转动一个微小角度后，分别利用或受力分析。

步骤三：由步骤一和步骤二联立得到或。

例：求挂一质量为m小球劲度系数为k的轻质弹簧在微小位移的周期T（弹簧振子竖直放置）。

在平衡位置处受力分析：

步骤二得：

联立得：

得： 

P117 例6.5课本用能量守恒，这里用受力分析求振动周期。

当轻杆转过一个微小角度，利用转动定理受力分析：

有 

得：

其频率为

3.         简谐振动能量

机械能包括动能和势能

动能：

势能：

这里与波动的动能与势能不同，弹簧振子机械能守恒，而波动能量不守恒，需要外界不断提供能量，此时，即在波峰处动能为0，此时势能也为0，在平衡位置处动能势能最大为。

弹簧振子的能量：

总机械能：

平均动能：

平均势能：

4.         研究振动的相位问题利用旋转矢量法。

例：两质点沿x轴作同方向、同振幅A的谐振动，其周期均为5 s，当t = 0 时，质点1在A处向x 轴负向运动，而质点2 在 —A处，求两个谐振动的初相差，以及两个质点第一次经过平衡位置的时刻。

解：

很明显质点的相位差是（尽量使相位差小于）

且质点1再过即0.625 s第一次进过平衡位置，质点2经过经过平衡位置。

对旋转矢量法的说明：

质点在沿x 轴方向即相位为0 时，是在最大位移处，质点2 所在位置是负最大位移处，与纵轴的两个交点是平衡位置。

5.         谐振动的合成

这一节有三个问题：同方向同频率简谐振动的合成，同方向不同频率的谐振动的合成，利萨如图。这里只研究前两个问题。

1.       同方向同频率简谐振动的合成

讨论的问题有三个：1、新振动的振幅2、新振动的频率或周期3、新振动的初相。

设质点1 的振幅是，初相是，质点 2 的振幅是，初相是。

由余弦定理得：

由于是同周期同频率所以新振动的周期与原振动周期一致。

对于初相研究

2.       同方向不同频率的简谐振动的合成

先解决新振动的振幅：由于两者周期不同，两者之间的夹角时发生变化的，

新振动的角速度是（取正）

注意：当两者角速度相差不大时，会出现“拍”的现象。

机械波：

1.       形成机械波的条件：1、波源  2、弹性介质

2.       平面简谐波的波函数：

步骤一：在波面上取一点，当然我需要它的振动方程

步骤二：判断波的传播方向，注意：沿着波的传播方向相位逐渐减小。

步骤三：写出波的波函数; （加减需判定）

例1：一平面简谐波以的波速在均匀介质中沿一直线传播。已知波源的振动周期为0.01 s，振幅A=0.01 m。设以波源振动经过平衡位置正方向运动时作为计时起点，求：（1）以距波源2 m处为坐标原点写出波函数；（2）以波源为坐标原点写出波函数；（3）距波源为坐标原点2 m和1 m的两点间的振动相位差。

解：（1）波源的振动方程为：

在距波源2 m处的振动方程：

以它为坐标原点的波动方程：

（2）以波源为坐标原点的波动方程：

（3）相位差与时间和波长之间有如下的比例关系：

          

这样有

例2：在坐标原点有一波源，其振动方程为，由波源发出的平面简谐波沿x 轴正向传播。在距离波源d 处有一平面将波反射（反射时无半波损失），求反射波的表达式。

在平面反射点处的振动方程： 

则反射波函数：

总结：反射只是波的传播方向发生变化，对反射点的振动方程没有影响。

      当反射有半波损失时，只要在后面加上个即可，若本题有半波损失则波函数是

      。

3.       波的能量密度：单位体积中波的能量

能流密度：P/S

4.       惠更斯原理

波在传播过程某一时刻的波面中的任意一点都可以看做新的点波源，并且这些点波源相互独立，在下一时刻，这些点波源的包络面即为这一时刻的波前。

5.       波的干涉

1、  形成条件：1.频率一样 2.振动方向一样 3.相差恒定

2、  加强条件：

  （k取0,1,2…..）

3.       减弱条件：  （k取0,1,2,3….）

4.       合振幅    

例：如图所示，A,B 两点为同一介质中的两相干波源，其振幅皆为0.05 m，频率为100 Hz，但当A为波峰时，B点恰为波谷，设在媒介中的波速为10 m/s，试写出由A,B发出两列波传到P点时的干涉结果。

=15 =25

=

 正好减弱，振幅为0。

     例：如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的介质中传播，在分界面上的P点相遇。频率为，振幅 ，的相位比的相位超前，在介质1中波速，在介质2 中波速，，求P点的合振幅

=

=0

干涉加强，

总结：

          =

6.       形成驻波的必要条件：  （n取1,2,3…..）

例：一沿x 轴方向传播的入射波在x = 0处发生反射，反射点为一波节。已知波函数为，求：

（1）       反射波的波函数；

（2）       合成波（驻波）的波函数；

（3）       各波腹和波节的位置坐标；

解： （1）在x = 0处的振动方程：

                        反射波波函数：

     （2）

            =

（3）波腹是振幅最大的点：

波节是振幅恒为零的点：

7.       多普勒效应

只要掌握这个公式即可：

     是接收者运动速度 是波源运动速度。

例：声源，声源以10 m/s的速率离开你向一悬崖运动，试问：

（1）       直接听到声源的频率为多大？

（2）       听到反射回来的频率为多大？（设空气声速330 m/s）

解：

波动光学:

1.       已知能流密度I，如何求能量体密度和电场强度和磁感应强度

2.       杨氏双缝干涉

1、  利用先通过单缝，在一个波面上取两个点，这两个点必定相位相同。

2、  得到的条纹平行等宽，等间距，明暗相见，对称分布

3、   两名条纹间距

4、  =

5、  第n 条亮纹到中央亮纹的光程差为

例：在杨氏双缝干涉实验中，测得，，相邻暗条纹的间距为0.3mm，求入射光波的波长。

解：由得：

3.       洛埃镜

可以等效成双缝干涉，但由于是平面镜反射，存在半波损失，所以当把屏移至平面镜右端时，发现与杨氏双缝干涉条纹正好相反。

例：在洛埃镜装置中，狭缝光源和它的虚像在离镜左边20 cm的平面内，镜长30 cm，在镜旳右面边缘放置一毛玻璃屏。如到镜面的垂直距离为2.0 mm，使用波长为的红光，试计算镜面右边边缘到第一条明条纹的距离。

解：由于在洛埃镜中，镜中原中央亮纹变成暗纹，所以右边缘到第一条明纹的距离就是半个，这样问题就简单了。

=

注意：d=4 mm是两个缝之间的距离。

4.       光程差

这里的是在真空中的波长。

例：在真空中波长为的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传到B，若A，B两点的相差为3，则此路径AB的光程差为（）

A．        B.         C.        D.

解：

光程差或相位差与周期或波长都有一定的比例关系，可用这个解决本题。

  其中这里的波长是在真空中的波长。

  故选A

5.       等厚干涉

关键记住光程差：

是中间介质的折射率，在上中下的折射率依次递增或依次递减，不需要加，是折射角的余弦。

劈尖干涉和牛顿环：

例：利用等厚干涉可以测量微小角度。如图所示，折射率n =1.4的劈尖状板，在某单色光的垂直照射下，量出两相邻明纹间距，已知单色光在空气中的波长，求劈尖顶角。

有 这样有

例：用紫色光观察牛顿环时，测得第k 级暗环的半径，第k+5 级暗环的半径，所用凸透镜的曲率半径，求紫光波长和级数k。

解：

        得：  环的半径为

       同样， 

           

             带回去求的 k=4

6.       迈克尔孙干涉仪

只要掌握计算公式即可，，光程差是2d

例:迈克尔孙干涉仪的一臂引入100 mm的长玻璃管，并充以一个大气压的空气，用波长的光照射，如将玻璃管逐渐抽成真空，发现有100 条纹的移动，求空气的折射率。

解：此时的光程差为2（n-1）d，

  得

带入的n=1.0002925。

7.       单缝的夫琅和费衍射

中心思路是利用半波带法，为偶数为暗纹，奇数为亮纹，光程差

当入射角不垂直入射时，光程差为 其中为入射光与法线的夹角。

例：波长=500 nm 的平行光，垂直地入射于一宽度为a=1.0 mm的单缝上，若的后面有一焦距为的凸透镜，使光线聚焦于屏上，试问从衍射图样的中心到下列各点的距离如何？

（1）       第一级极小；

（2）       第一级明条纹的极大处；

（3）       第三级极小；

解：

（1）       直接利用公式

（2）         k=1时为第一级明条纹的极大处

（3）       第三级极小（是第一问的三倍）

8.       最小分辨角

为入射波的波长，D是望远镜的口径或人眼瞳孔的直径。

例：月球距离地面约，设月光波长可按计算，问：月球表面距离多远的两点才能够被地面上直径为D=500 cm的天文望远镜所分辨？

解：

有  D=R

所以有

9.       光栅

光栅实际上有两部分1、光栅方程以及利用光栅方程求最大级次

2、缺级的问题

 光栅方程：

缺级：

例：

波长的单色光垂直入射到一光栅上，第二级，第三级光谱线分别出现在衍射角满足下式方向上，即，，第四级缺级，问：

（1）       光栅常数为多少？

（2）       光栅上狭缝宽度有多大？

（3）       在屏上可能出现的全部光谱线的级数。

解：（1）由

        得：

（2）由于第四级缺级且第二第三级不缺，有

则

（4）       由得

且缺级

所以可见。

10.   偏振

一个是马吕斯定律，另一个是布儒斯特定律

马吕斯定律描述光强经偏振削弱的现象

布儒斯特定律描述是如何产生偏振光的。

当反射光与透射光夹角垂直时，反射光为完全偏振光，透射光为部分偏振光。

例：一束自然光和偏振光的混合光，当它通过一偏振片时，发现光强取决偏振片的取向，可以变化5 倍。求入射光束两种光的光强各占总光强的几分之几？

解：不妨设自然光光强为,偏振光的光强为

           

总光强为

得