等比数列知识点总结及练习(含答案)

等比数列

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。叫做高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。与高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列高考资源网(www.ks5u.com)，中国最大的高考网站，您身边的高考专家。是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何，在等比数列中，有。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二 例题解析

【例1】  已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（    ）

A．是等比数列                       B．当p≠0时是等比数列

B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列     D．不是等比数列

【例2】    已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】  求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                  B．                  C．              D．

2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（    ）

A．                 B．                   C．                 D．不确定

3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．

3、若为等比数列，且，则公比________．

4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

A．               B．                C．                D．

5、等比数列{an}中，公比q=21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.

考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

2、如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．，                     B．，

C．，                   D．，

3、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．           C．               D．

4、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．               C．               D．

5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（   ）

A．               B．              C．            D．

6、若是等比数列，且，若，那么的值等于          

考点五：公式的应用

1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是(    )

A.公比为2的等比数列                B.公比为21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站的等比数列

C.公差为2的等差数列                D.既不是等差数列也不是等比数列

2、等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为(    )

A.(2n-1)2              B.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(2n-1)2              C.4n-1              D.21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站(4n-1)

3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n.

(1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an);

(2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

等比数列

一、选择题：

1．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为                         （    ）

①{an2}也是等比数列                  ②{can}(c≠0)也是等比数列 

③{}也是等比数列                 ④{lnan}也是等比数列

A．4              B．3              C．2              D．1

2．等比数列{a n}中，已知a9 =－2，则此数列前17项之积为                   （    ）

    A．216             B．－216           C．217             D．－217   

3．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为 （    ）

A．1              B．－           C．1或－1         D．－1或

4．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于                          （    ）

A．4              B．             C．            D．2

5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为  （    ）

A．x2－6x＋25=0                     B．x2＋12x＋25=0

C．x2＋6x－25=0                     D．x2－12x＋25=0

6．某工厂去年总产a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（    ）

A．1.1 4 a        B．1.1 5 a         C．1.1 6 a       D． (1＋1.1 5)a

7．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于              （    ）

    A．            B．()9                  C．            D．()10

8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为  （    ）

A．3          B．3          C．12             D．15

9．某厂20##年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂20##年度产值的月平均增长率为 （    ）

    A．            B．           C．        D．

10．已知等比数列中，公比，且，那么 等于 （    ）

A．           B．            C．            D．

11．等比数列的前n项和Sn=k·3n＋1，则k的值为                            （    ）

A．全体实数       B．－1            C．1              D．3

二、填空题：

12．在等比数列{an}中，已知a1=，a4=12，则q=_____     ____，an=____        ____．

13．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=___           ___．

14．在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10＝         ．

15．数列｛｝中，且是正整数)，则数列的通项公式           ．

三、解答题：

16．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*) (1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

17．在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．

18．在等比数列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q．

参考答案

一、选择题： BDCAD  BACDB  BC

二、填空题：13.2， 3·2n－2． 14.．15.512 ．16.．

三、解答题：

17.(1)证明： 由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)

又an＋1≠0     ∴=2

即{an＋1}为等比数列．

(2)解析： 由(1)知an＋1=(a1＋1)qn－1

即an=(a1＋1)qn－1－1=2·2n－1－1=2n－1

18.解析： 由a1＋a2＋…＋an＝2n－1        ①

n∈N*知a1＝1

且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1        ②

由①－②得an＝2n－1，n≥2

又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈N*

＝4

即｛an2｝为公比为4的等比数列

∴a12＋a22＋…＋an2＝

19.解析一： ∵S2n≠2Sn，∴q≠1

②÷①得：1＋qn＝即qn＝                                             ③

③代入①得＝64                                                     ④

∴S3n＝ (1－q3n)＝64(1－)＝63

解析二： ∵｛an｝为等比数列

∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)

∴S3n＝＋60＝63

20.解析：当x=1时，Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2

当x≠1时，∵Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1， ①

等式两边同乘以x得：

xSn=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn．  ②

①－②得：

(1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n－1)xn=1－(2n－1)xn＋，

∴Sn=．

21.解析：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，

∴a1、an是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，

∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，显然q≠1．

若a1=2，an=64，由=126得2－64q=126－126q，

∴q=2，由an=a1qn－1得2n－1=32，  ∴n=6．

若a1=64，an=2，同理可求得q=，n=6．

综上所述，n的值为6，公比q=2或．

22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{an}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11

则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，

又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}：b1=16×50=800，d=30，n=11

∴b11=800＋10×30=1100(万米2)

因此20##年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)

 

第二篇：高二数学等比数列知识点总结与经典习题

参考答案

例题1、  9n-1      

       练习1、1、4

     2、B  [解析]　·()n－1＝，∴()n－1＝＝()3∴n＝4.

   3、A [解析]　∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.   ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，

∴a7＝a1q6＝26＝64.

   4、A  [解析]　a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.

   5、C   [解析]　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)

                      ＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)

                      ＝(q－1)·a4·(1－q2)

                      ＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．

6、B [解析]　设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，

因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，故a1＝＝＝，故选B.

7、B  [解析]　由条件知，∵∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3

8、 an=Sn-Sn-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n-2n-1=2n-1，an2是以a12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n-1/3

     9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q的等比数列，所以q3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q2=(c+a-b)/(a+b+c)   

        q=(b+c-a)/(a+b+c)，q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1

      （2）因为a+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比数列，公比为q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
            ∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.

 例题2、 解an-an-1=3n-1   将n=2,3,4,5代入得：a?-a?=3¹
                                               a?-a?=3²
                                               a?-a?=3³
                                                 ...............
                                               an-an-1=3n-1
                      将上面的式子相加得：an-a1 = 3¹+3²+3³+.......+3n-1

                                 an = 1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3?-1)

练习1、C  [解析]　∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，

            ∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，

          ∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.   ∴＝＝＝.

    2、C   [解析]　∵a，b，c成等比数列， ∴b2＝ac>0. 

          又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac<0，∴方程无实数根．

3、（an+2）/2=√(2Sn)      Sn=（an+2）2/8    Sn+1=（an+1+2）2/8    an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2
       an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0      an+12-4an+1-an2-4an=0    a(n+1)=an+4    an=-2+4n

例题3、 xSn=x+3x2+5x3+7x4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn   ①
      因为 Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1)       ②                  
      ②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn
             (1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn
             (1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn

             (1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn
             (1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn
             Sn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)

   练习1、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4  

                     S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64       ∴S12=64+20=84

    2、B [解析]　∵q2＝＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27

   3、B [解析]　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.

   4、A  [解析]　设bn＝a，则＝＝()2＝q2，∴{bn}成等比数列；

  ＝2an＋1－an≠常数；当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，则＝＝≠常数．

  5、D [解析]　a2a10＝a5a7＝6.   由，得或.

∴＝＝或.故选D.

  6、D  [解析]　消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，

∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.

  7、 B[解析]　设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.

所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4.两式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.

又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.

  8、　0<q<1[解析]　∵∴∴0＜q＜1.

  9、 [解析]　∵a1，a3，a9成等比∴a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d＝a1，∴an＝a1＋(n－1)d＝nd，∴＝＝.

  10、3或27 [解析]　设此三数为3、a、b，则，解得或，

∴这个未知数为3或27.

   11、由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得或 

        所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.

   12、A [解析]　解法1：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1，c＝log2 12＝log2 3＋2.∴b－a＝c－b.

   13、C  [解析]　依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.

   14、A[解析]　设等差数列首项为a1，公差为d，则q＝＝＝＝ 

            ＝＝.故选A.

  15、D [解析]　由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．

  16、4,12,36 [解析]　∵a、b、c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，  即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4，∴三数为4,12,36.

 17、　  [解析]　本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p＝1－＝.

18、原计划三年产值成等差数列，设为a－d，a，a＋d，d>0，由三年总产值为300万元，得a＝100万元，又a＋10－d，a＋10，a＋11＋d成等比数列，得(a＋10)2＝(a＋10－d)(a＋11＋d)，∴(110－d)(111＋d)＝1102?d2＋d－110＝0?d＝10，或d＝－11(舍)．∴原计划三年的产值依次为90万元，100万元，110万元．

19、(1)依题意：Sn＝2n－1(n∈N*)，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.

      当n＝1，S1＝a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．

  (2)因为bn＝log2an－12＝n－13，所以数列{bn}是等差数列．∴Tn＝＝(n－)2－.

   故当n＝12或13时，数列{bn}的前n项和最小．

  (3)∵Tn－bn＝－(n－13)＝＝<0，

   ∴1<n<26，且n∈N*，所以不等式的解集为{n|1<n<26，n∈N*}．

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