三角函数总结及统练
一. 教学内容:
三角函数总结及统练
(一)基础知识
1. 与角终边相同的角的集合
2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是、、三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=
5. 同角三角函数的关系
平方关系:商数关系:
倒数关系:
口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。
6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。
7. 两角和与差的三角函数
8. 二倍角公式——代换:令
降幂公式
半角公式:;;
9. 三角函数的图象和性质
10. 函数的图象变换
函数的图象可以通过下列两种方式得到:
(1)
(2)
(二)数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。2. 诱导公式原则:奇变偶不变,符号看象限。
3. 估用公式原则:一看角度,二看名称,三看特点。4. 角的和与差的相对性 如:-
角的倍角与半角的相对性 如:
5. 升幂与降幂:升幂角减半,降幂角加倍。 6. 数形结合:心中有图,观图解题。
7. 等价转化的思想:将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将高级转化为低级。
8. 换元的手段:通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如:(化成一个角的一个三角函数)
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?
(1)
(2)
解:
(1),,
(2),,
,
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
;
[例2] 化简 。 答案:
3. 化异为同
[例3] 已知,求:
(1) (2) 答案:(1)3;(2)
[例4] 已知,求: 答案:
4. 与间的相互转化
(1) 若,则; ;
=
(2)若,则;
(3)
[例5] 化简: 。 答案:
[例6] 若在第二象限,,求。 答案:
5. 互为余角的三角函数相互转化
若,则;
[例7] 已知,则 。 答案:
[例8] 求值: 。 答案:
[例9] 求值: 。 答案:
6. 公式的变形及活用
(1)
(2)若
[例10] 计算 。 答案:
[例11] 。 答案:
7. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性
[例12] 若,则 。 答案:7
[例13] 若,则 。 答案:
[例14] 在中,A为最小角,C为最大角,且,,求的值。
答案:
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的,所以求值时可排除值的多样性。
[例15] 已知,求。 答案:
[例16] 若是第二象限角且,求的值。
解法一:利用公式然后限定角的范围。
解法二:设利用平方和求的值,然后限定角的范围。
解法三:利用,可回避限定角的范围。
答案:
9. 在三角形中的有关问题
; ;
结论: ;
;
[例17] 已知A、B、C是的内角且,试判断此三角形的形状。
答案:等腰三角形,B=C
[例18] 在锐角三角形ABC中,求证:
证明:由则
故 同理
三式相加,得证。
10. 形如的化简
[例19] 求值: (1) (2) 答案:(1)(2)
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间(“一套”);会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
(1) (2)
答案:
(1) (2)
[例21] 求下列函数的值域。
(1) (2)若是锐角,则的值域。
答案:(1) (2)
12. 可化为形如:的形式(一个角的一个三角函数)
[例22] 已知函数,求“一套”。
答案:,定义域:R;值域:,,;
对称轴 增区间:
减区间:
13. 函数的图像的变换——两个题型,两种途径
题型一:已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径:其一,先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移。
注:关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系
题型二:由函数图像求其解析式
[例23] 已知函数,(,)在一个周期内,当时,有最大值为2,当时,有最小值为,求函数表达式,并画出函数在一个周期内的简图。(用五点法列表描点)
答案:
14. 可化为形如:,(定义域有限制的一元二次函数)
[例24] 求函数的值域 解:
[例25] 已知,若记其最大值为,求的解析式。
解:,当时,
当时,
当时,
15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数对定义域中每一个都有,其中,则的周期 。
解:T
[例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。 解:4
[例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。 解:8
[例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立,求其周期。解:6
[例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ,求其周期。解:6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程的解的个数 。 解:63
【模拟试题】(答题时间:60分钟)
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?
2. 已知,求:
3. 设,则 。
4. 求的最大值和最小值。
5. 求值:。
6. 若;,求
7. 已知、且,,求的值。
8. 为何值时方程有解?
9. 方程,有两解时求的值。
10. 求值: (1) (2)
11. 求下列函数的定义域:
12. 已知函数,当时,求函数的最大值和最小值及何时取到?
【试题答案】
1. ,,
,
2. 3.
4. 令,,,,
5. 6.
7.
提示:关键是角的范围的限定,逐层限定角的范围,逐步求细。
解:
又由得,得
则故
8. 9. 10.(1) (2)
11. ()
12. 当时,;时,
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