说 明

数学，特别是高等数学，一提到这里，我估计会有一部分人开始头痛了。如何学好数学？等等类似的问题浮于脑海之中。

记得在我大学期间，看到这样一本书，书名是《数学的领悟》。书中有这样一段描述：真正要对数学入迷，必须深入数学本身：不仅是学者，而且是作者；不仅是观众，而且是演员。他必须克服一个又一个的困难，不断地有新的发现，新的创造。其入也愈深，所见也愈奇。观前人所未观，发前人所未发，这才算的是进入登堂入室，回顾无峰的高级境界。

知识的学习一定有方法，但无捷径。如果说，学知识真有捷径的话，就是你找到属于自己的方法，并且把这种方法与自己本身融会贯通，这就是捷径。学习要得法，万物生长皆有属于它们的自己的规律。如果违反了万物生长之规律，只能是徒劳的。

下面我就以专升本的高等数学为例，来谈谈在专升本的高等数学学习时的注意之处。本文档整理不是很完整，还请谅解！
高等数学易错点总结

（一）微积分

1.函数:函数的概念、函数的几种常见性态、反函数与复合函数、初等函数；

提醒：1.1函数的几种性质：函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。（往往出题方向在选择题目和填空题中，例如：比较大小可能会用到奇偶性，试卷最后的证明题可能会用到单调性）

2.极限与连续:极限的概念及运算、极限存在准则、两个重要极限、无穷大量与无穷小量、函数的连续性；

提醒：2.1灵活运用两个重要极限  

2.2无穷小的性质

性质1：有限个无穷小的代数和仍为无穷小；

      性质2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小;

      性质3：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。

2.3函数的极限与无穷小的关系：在自变量的统一变化过程中(）中，的充要条件是：。

2.4无穷小量的阶；（出题方向选择题）

2.5常用的等价无穷小；（牢记）

2.6等价代换定理；

2.7掌握求极限的常用的方法：（牢记，对于求极限题目大部分用下面方法都可以解决掉）

（1）  约去零因式法（适用于时，“”型）；

（2）  除去适当无穷大法（适用于时，“”型）

（3）  有理化（适用于带根式的极限问题）；

（4）  通分法（适用于“”型）；

（5）  运用两个重要极限；

（6）  无穷小量性质法（两个无穷小量之际仍为无穷小量，无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）；

（7）  等价无穷小代换法；（注意:等价无穷小代换只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换。）

（8）  利用左右极限与极限关系求分段函数在分段点处的极限；

（9）  洛必达法则。

2.8函数连续的三个条件（也是判断是否是间断点的条件）

       条件1：函数在点及其近旁有定义；

       条件2：存在；

       条件3：函数在时的极限值等于在点的极限值。

2.9函数的间断点：两类分别是第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点、震荡间断点），掌握间断点之间的区别。例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是 的震荡间断点。

2.10熟练掌握闭区间上连续函数的性质：（1）有界性定理；（2）最大、最小值定理；（3）介值定理；以及推论：零点定理：如果在上连续，且，则内至少有一点，使。（往往证明题会用到零点定理）

3.导数与微分:导数的概念、基本公式与运算法则、隐函数的导数、高阶导数、函数的微分；

提醒：3.1牢记可导必连续，连续不一定可导，连续是可导的必要条件；

3.2对于一些幂指函数和若干个因子的幂的连乘积，可以利用对数求导法；

4.导数的应用:微分中值定理（Rolle定理,Lagrange中值定理）洛必达法则、函数的单调性及其极值、函数的最大值和最小值、曲线的凹凸性与拐点；

提醒：4.1了解拉格朗日中值定理可以看作罗尔定理的推广，牢记两大中值定理（有时间的话，还可以了解下柯西中值定理）；

4.2洛必达法则主要记住在什么情形下使用，例如：求的极限就不可以用洛必达法则；

4.3要记住拐点是连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点；

4.4补充知识：曲线的水平渐近线与垂直渐近线

（1）水平渐近线

如果函数的定义域是无穷区间，且（或），则直线为曲线的水平渐近线。例如直线与都是曲线的水平渐近线；

（2）垂直渐近线

如果（或），则直线为曲线的垂直渐近线。例如：直线都是曲线的垂直渐近线；直线都是曲线的垂直渐近线；

5.不定积分:不定积分的概念、性质与基本积分公式、换元积分法、分部积分法、简单的有理函数积分；

提醒：5.1牢记，其中为在区间上的一个原函数；

5.2不定积分的性质与基本积分公式熟记；

补充积分公式（可以直接引用）

       

5.3不定积分的方法：

（一）直接积分法；

（二）第一换元积分法，即：凑积分法；

（三）第二换元积分法，常见是三角代换或或或；

（四）分部积分法，常见几种类型，其中

（1）求解的积分；

（2）求解的积分；

（3）求解的积分；

（五）简单的有理数积分

有理数的一般形式为，其中分别为n,m次多项式；

6.定积分及其应用:定积分的概念、性质、定积分与不定积分的关系、定积分的换元积分法和分部积分法、无穷区间上的广义积分、定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）；

提醒：6.1牢记积分中值定理：如果函数在上连续，则内至少有一点，使得成立；

6.2理解定积分的几何意义；

6.3熟练掌握变上限积分与其导数

设函数在区间上连续，则在上可导，且说明就是在上的一个原函数。

推广形式：设可导，连续，则；

6.4灵活运用偶函数与奇函数在对称区间上积分

设函数在对称区间上连续，则有

（1）当为偶函数时，有；

（2）当是奇函数时，有；

6.5熟记平面图形的面积与旋转体的体积的公式；

7.多元函数微分法:多元函数的概念、偏导数、全微分、复合函数的微分法；

提醒：7.1如果函数在点处可微，则它在该点必连续；

8.二重积分:二重积分的概念、性质与计算（直角坐标与极坐标）；

提醒：8.1二重积分可类比不定积分，加深掌握理解；

8.2极坐标谨记

求解二重积分，重在找定义域

9.微分方程:微分方程的基本概念、一阶微分方程（分离变量、齐次、线性）；

提醒：9.1常微分方程解题方法：

（1）对于可分离变量方程，移项，两边积分，即可；

（2）对于齐次方程，令求解；

（3）对于一阶线性方程，方程形式为

原方程的通解：（可作为公式使用），只要找到代入通解公式即可

10.无穷级数:数项级数的概念和性质、正项级数及其审敛法、幂级数的收敛半径及收敛域.

提醒：10.1熟练掌握判断正项级数的审敛性的方法

（二）线性代数

1.行列式与矩阵:行列式及其基本性质、行列式的按行（列）展开定理、矩阵及其基本运算、矩阵的初等变换与初等方阵、方阵的逆矩阵、矩阵的秩；

提醒：1.1矩阵的初等变换与初等矩阵的关系

设是矩阵，对施行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同种初等矩阵左乘；对施行一次初等列变换得到的矩阵，等于用同种初等矩阵右乘。

例题：

设，则下列等式成立的是（  ）

解：由题意知

而是由交换第一行与第二行，再交换第一列与第二列得到，所以

，故选

思考题：

 

2.线性方程组:线性方程组解的研究、n元向量组的线性相关性、齐次线性方程组的基础解系.

提醒：2.1（1）1个零向量线性相关，1个非零向量线性无关；

（2）向量组线性相关的充要条件是的分量对应成比例；

2.2向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定；

例题

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，则该方程组的通解为

       

解：为非齐次方程组的解都是齐次方程组的解，也是齐次方程组的解；由于齐次方程组的基本解系的个数为4-3=1（），

所以齐次方程组的通解为

非齐次方程组的通解为

（三）概率论初步

1.随机事件:事件的概率、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性 全概率公式和贝叶斯公式；

提醒：1.1两个互相对立的事件与一定为不相容事件，但是两个不相容事件未必是对立事件；

1.2独立事件：对于两个事件与，如果，则称事件与独立；

如果事件与独立，则事件与，与，与也独立；

1.3对于概率方面的出题，全概率与贝叶斯都可能出现，即：题目有两问，第一问就是求全概率、第二问就是求贝叶斯；所以说，对于要达到融会贯通，举一反三；

2.一维随机变量及其分布:随机变量的概念、离散型、连续型随机变量、几种常用的离散分布与连续分布、分布函数；

提醒：2.1分布函数的性质

2.2概率密度函数的性质

2.3正态分布的性质

3.一维随机变量的数字特征:数学期望、方差.

矩阵方面

一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式）

公式1：

公式2：

或 

公式3：（）

下面给出公式2的推导过程：设

由

得

解之得

下面就检查下自己的学习能力^-^

习题1：

习题2：

答案：习题1：

习题2：

二：利用定义求矩阵

例1：设阶方阵满足，求证可逆并求

证明：由，得：

即，从而可逆且

例2：设为同阵且满足，证明可逆并求其逆，进一步证明

证明：，故

从而有

即可逆且

故即从而

例3：已知阶方阵满足，求

证明：由，得

所以

从而有

即

下面就检查下自己的学习能力^-^

习题1：设，证明：

习题2：设为阶方阵，且与均可逆，证明

习题3：若阶方阵满足，求证可逆

习题4：设，试证明为可逆阵

常微分方程

例题1：设为可微函数，且满足方程

求

解：方程两边对求导，得：

化简得：

两边再对求导，化简得：

这是一阶线性齐次方程，分离变量得：

两边积分得

即

下面就检查下自己的学习能力^-^

习题1：设连续函数满足方程，求

习题2：设连续函数满足方程，求

答案：习题1：

习题2：

 

第二篇：高等数学难点总结

高等数学难点总结

上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）

极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值

连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，

二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算

什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近

连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的。

下册（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用

来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。

函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。

微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。