数列方法与技巧总结

1.a_n={ 注意验证a₁是否包含在a_n 的公式中.

2. 

 

如若是等比数列，且，则＝      （答：－1）

3.首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式,或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是             （答：4006）

4.等差数列中a_n=a₁+(n-1)d;S_n===

等比数列中a_n= a₁ q^n-1;当q=1,S_n=na₁ 当q≠1,S_n==

5.常用性质：等差数列中, a_n=a_m+ (n－m)d, ;当m+n=p+q,a_m+a_n=a_p+a_q；

等比数列中，a_n=a_mq^n-m; 当m+n=p+q ，a_ma_n=a_pa_q；

如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列中，若，则      （答：10）.

6.常见数列：{a_n}、{b_n}等差则{ka_n+tb_n}等差;

{a_n}、{b_n}等比则{ka_n}(k≠0)、、{a_nb_n}、等比;

{a_n}等差,则(c>0)成等比.

{b_n}(b_n>0)等比,则{log_cb_n}(c>0且c1)等差.

7.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q³,a/q,aq,aq³  (为什么？)

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

8. 等差数列{a_n}的任意连续m项的和构成的数列S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m、S_4m - S_3m、……仍为等差数列.

等比数列{a_n}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m、S_4m - S_3m、……仍为等比数列.

如：公比为-1时，、-、-、…不成等比数列

9.等差数列{a_n},项数2n时,S_偶-S_奇＝nd;项数2n-1时,S_奇-S_偶＝a_n ;

等比数列{a_n},项数为时，则;项数为奇数时，.

10.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.

分组法求数列的和：如a_n=2n+3ⁿ  、错位相减法求和：如a_n=(2n-1)2ⁿ、裂项法求和：如求和：        （答：）、

倒序相加法求和：如①求证：；②已知，则＝___（答：）

11.求数列{a_n}的最大、最小项的方法（函数思想）：

①a_n+1-a_n=……  如a_n= -2n²+29n-3  ②   (a_n>0) 如a_n=  ③ a_n=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a_n=

求通项常法:

（1）已知数列的前n项和,求通项，可利用公式:

如：数列满足，求（答：）

（2）先猜后证

（3）递推式为＝＋f(n) (采用累加法)；＝×f(n) (采用累积法)；

如已知数列满足，，则=________

（答：）

（4）构造法形如、（为常数）的递推数列如①已知，求（答：）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下公式的合理运用 ：  a_n＝（a_n－a_n-1）+(a_n-1－a_n-2)+……＋（a₂－a₁）＋a₁ ；    

a_n＝

（6）倒数法形如的递推数列都可以用倒数法求通项.如

①已知，求（答：）；

②已知数列满足=1，，求（答：）

12.常见和：，  ，

13. 若等差数列的首项是，公差是，则．              

 通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．

等差数列的前项和的公式：①；②．

14.若等比数列的首项是，公比是，则．

通项公式的变形：①；②；③；④

等比数列的前项和的公式：．

      时，，即常数项与项系数互为相反数

 

第二篇：【方法总结】由递推式求数列通项典型例题的技巧解法

由递推式求数列通项的典型题的技巧解法

对于由递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

类型2 （1）递推公式为

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：

由已知递推式有， ，，依次向前代入，得，

简记为  ，这就是叠（迭）代法的基本模式。

（3）递推式：

解法：只需构造数列，消去带来的差异。

例3．设数列：，求数列的通项公式。

解：设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得

说明：（1）若为的二次式，则可设;

(2)本题也可由 ,（）

两式相减得转化为求之.

例4．已知， ，求数列的通项公式。

解：

      

类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

在数列中，若，则该数列的通项                。

例5. 已知数列中，，，求数列的通项公式。

解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,

所以.

类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数）

解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：。

引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。

例6. 已知数列中，,，求数列的通项公式。

解：在两边乘以得：

令，则,应用例7解法得：

所以数学驿站：

类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为

其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

已知数列满足求数列的通项公式。

例7. 已知数列中，,,，求数列的通项公式。

解：由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以。

类型6 递推公式为与的关系式。(或)

解法：利用进行求解。

例8. 已知数列前n项和，

（1）       求与的关系；

（2）       求数列的通项公式。

解：（1）由得：

于是

所以.

（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

类型7 双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例9. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求数列、的通项公式。

解：因

所以

即…………………………………………（1）

又因为

所以……

.即………………………（2）

由（1）、（2）得：，

总结方法比做题更重要!方法产生

于具体数学内容的学习过程中.