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微积分课程总结

                    第六章    定积分

 6.2定义：

   几点注意：

1、如果积分和式的极限存在，则此极限值是个常量；它与f（x）及积分区间[a,b]有关，而与积分变量用什么字母无关，即

2、无界函数是不可积的，即函数f（x）有界是可积的必要条件。

3、有限区间上的连续函数是可积的，有限区间上只有有限个间断点的有节函数也是可积的。

4、当时，

   当时，

5、定积分的几何意义是曲边梯形的面积。

6.3定积分的基本性质：

性质1：  （k为常数）

性质2：（此性质可以推广到任

      意有限多个代数和的情况）

性质3：积分的可加性——

       无论c处去什么位置，该性质都成立。

性质4：如果函数f(x)与g(x)在区间[a,b]上总满足条件,  

      则

性质5：如果被积函数f(x)=1.则有

性质6：如果函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M                        

       与m，则

性质7：（中值定理）如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则在[a,b]内至少又一点使得下式成立：  #推论1：如果在区间[a,b]上， 则 

 #推论2： 

6.4定积分与不定积分的关系：

定理6.1：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则函数对积分上限x的导数，等于被积函数在上限x处的值，即

定理6.2：（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

定理6.3：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F（x）是f(x)的一个原函数，则 （注意：如果函数在所讨论的区间上不满足可积条件，则定理不能使用）

6.5定积分的换元积分法：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令，如果

（1）在区间[a,b]上又连续的导数；

（2）当t从变到时从单调地变到。则有（定积分的换元公式）

注意：在作变量替换时，要相应地替换积分上下限。

6.6定积分的分布积分法：

公式：

6.7定积分的应用：

（三）经济应用问题：

例：由边际函数求总函数

已知总成本函数，总收益函数，可知

边际成本函数  

边际收益函数    

则总成本函数为   

  总收益函数为   

  总利润函数为   

6.9广义积分

1、无限区间上的积分

设函数f(x)在区间上连续，如果极限存在，就称此极限为为f(x)在上的广义积分，记作

              

这是称广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散。

 类似的有：

#对于广义积分，其收敛的充要条件是：

 与都收敛

2、无界函数的积分

      设函数f(x)在上连续，当时，,如果存在，就称此极限值为

无界函数f（x)在[a,b]上的广义积分，记作

这时称广义积分存在或收敛。如果不存在，就说不存在或发散。

 类似情况：

#对于时的广义积分，其存在的充要条件是：

与

                 第七章   无穷级数

7.1概念

   如果当时，部分和数列的极限存在，即

（S是有限常数）则称级数收敛。如果的极限不存在，则称级数发散。

7.2无穷级数的基本性质：

定理7.1：如果级数 

         与级数都收敛，他们的和

         分别是S、W，则级数

         也收敛，且

         其和为

（注意：必须先说明、收敛，才能运用该性质）

定理7.2：如果级数收敛，且其和为S。

         则它的每一项都乘以一个不为零的常数a后，所

         得到的的级数也收敛，

         且其和为aS（即级数每一项同乘一个不为零的常

         数后，其收敛性不变。

定理7.3：在一个级数的前面加上（或减去）有限项，级数

         的敛散性不变。

定理7.4：如果一个级数收敛，加括号后所成的级数也收敛，

         且与原级数有着相同的和。（反之，如果加括号后

         所成的级数发散，则原级数也发散。另外，发散

         级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛

         原级数未必收敛。）

         总结：收敛级数加括号收敛级数

                发散级数去括号发散级数

                收敛级数去括号级数不一定收敛

                发散级数加括号级数不一定发散

定理7.5：（收敛的必要条件）如果级数

         收敛，则（即一般

          项极限为零，则级数发散;一般项极限不为零，则

          不能判定极限的收敛性，选用其他方法）

7.3正项级数：

定理7.6：正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列

         有界。

定理7.6：（比较判别法）如果两个正项级数

         与

                      满足关系式

           其中c是大于0的常数，那么：

         （1）当级数收敛时，级数也收敛

         （2）当级数发散时，级数也发散

常用比较法级数总结：

（1）几何级数：当时收敛于，当时发散

（2）调和级数发散

（3）级数：当时发散,当是收敛

定理7.8：（达朗贝尔比值法）如果正项级数

        

         满足条件，则

        （1）当时，级数收敛;

        （2）当时，级数发散;

        （3）当时，不能用此法判定级数敛散性。

总结：1、两个收敛级数相加得一收敛级数。

      2、两个发散级数相加不一定是发散的。

      3、一个收敛级数加上一个发散级数则为一发散级数。

7.4任意项级数、绝对收敛

定理7.9：（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件

   （1）     （2）  

     则级数收敛，其和   

定理7.10：如果任意项级数的各项绝  对值所组成的级数收敛，则原级数也收敛。（注意：如果正项级数发散，则只能判断原级数非绝对收敛，而不能判断其为发散）

定理7.11：如果任意项级数满足条件则当l＜1是级数绝对收敛，当l＞1是级数绝对发散。

7.5幂级数

     求幂级数收敛区间的步骤：先求出收敛半径R，如果0,则再判断是的敛散性，最后写出收敛区间。

定理7.11：如果幂级数的系数满足条件则

    （1）当时，

（2）当 时， 

（3）当 时， 

注意：该定理只针对标准形式的幂级数。如果不是标准形式，可以考虑任意项收敛性判定公式。   

(二）幂级数的性质

（1）如果幂级数和的收敛半径分别为和，则的收敛半径等于和中较小的那个。

（2）如果幂级数的收敛半径，则在收敛区间内，它的和级数时连续级数。

（3）幂级数可以在其收敛区间可以逐项积分，并且积分后级数的收敛半径也是R。

（4）幂级数可以在其收敛区间可以逐项微分，并且微分后级数的收敛半径也是R。

7.6泰勒级数和泰勒公式：

定理7.13（泰勒中值定理）如果函数在含有点的区间内，有一阶直到阶的连续导数，则当x取区间内任何值时，可以按的方幂展开为

其中   （在与之间）则该公式称为函数f(x)的泰勒级数，余项称为拉格朗日型余项。

当令时公式变为再令，则称为马克劳林公式。

而叫做泰勒级数，当时，公式成为称为马克劳林级数。

7.7某些初等级数的幂级数展开式：

（一）直接展开法：利用泰勒级数或马克劳林级数将f(x)展开为幂级数的步骤：1、求出f(x)在x=0的各阶导数值，若函数f(x)在x=0的某阶导数不存在，则f(x)不能展为幂级数          2、写出幂级数，并求出收敛区间                       

3、考察在收敛区间内余项的极限是否为0.如为0，则幂级数在此区间内等于函数f(x);如不为0，幂级数虽收敛，但它的和也不是f(x).

(二）间接展开法

总结:重要幂级数的展开式

                    第八章   多元函数

8.1空间解析几何

空间任意两点之间的距离：

球面方程：

8.2多元函数

对于多元函数来说，可导不一定连续，连续同样不一定可导。

8.4偏导数

其多元函数对一自变量的偏导数时，只需将其他自变量看成常数，用一元函数求导法即可求得。

8.5全微分

必要条件：可微偏导数存在，

          在处连续（但偏导数不一定连续）

充分条件;存在连续偏导数可微

8.6复合函数微分法：

      

8.7隐含数的微分法;

8.8二元函数的极值

定理8.3：(极值存在的必要条件）如果函数f(x)在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有，

定理8.4：（极限存在的充分条件）如果函数f(x)在点的某一领域内有连续的二阶偏导数，且时它的驻点设则

  （1）如果，且，则是极大值

  （2）如果，且，则是极小值

  （3）如果，则不是极值

  （4）如果，则是否为极值需另法判别

*空间一点到平面的垂直距离公式：

    

8.9二重积分

性质1：常数因子可提到积分号外面

性质2：函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和

性质3：二重积分的可加性

性质4：如果在区域D上总有则，特别有

性质5：如果在区域D上有f(x,y）=1，A是D的面积，则

性质6：设M与m分别时函数z=f(x,y)在D上的最大值和最小值，A是D的面积，则

性质7：二重积分的中值定理：如果f(x,y)在闭区域D上连续，A是D的面积，则在D内至少存在一点使得（中值定理的几何意义为：在区域D上以曲面f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，等于区域D上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。

*二重积分的计算，可以归结为求两次定积分

 （1）

   

 （2）

   

注意：如果平行与坐标轴的直线与区域D的边界线交点多于两点，则要将D分为几个小区域，使每个小区域的边界线与平行于坐标轴的直线的交点不多于两个。然后再应用积分对区域的可加性计算。

另外，计算二重积分时应先画出区域D的图形，再写出区域D上的点满足的不等式，从而确定积分上下限。

当区域D时圆或是圆的一部分，或者区域D的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为等形式时，一般采用极坐标计算二重积分。

                第九章  微分方程与差分方程

9.2一阶微分方程：

（1）可分离变量的一阶微分方程

  形如 

  通解为 

特别当 或 时得的通解为

                         的通解为

（2）齐次微分方程

形如

步骤：1、转换为标准形式

      2、设得，再将其代入可得到可分离变量的微分方程

        则通解为或

      3，将代入

（3）一阶线性微分方程

      形如

公式：

步骤：1、求对应的齐次方程的通解

       2、设，并求出

       3、将第二步中的y及代入，解出

       4、将第三步求出的代入第二步的y的表达式，得

      

9.3几种二阶微分方程：

（1）最简单的二阶微分方程

 形如 方法：对其积分一次得，再对上式积分一次得

（2）不显含未知函数y的二次微分方程

   形如 令，则代入方程得求其通解为 则方程的通解为

（3）不显含未知函数x的二次微分方程

   形如将其中的看作是y的函数则，于是可将原方程化为，设通解已求出为，则由可知原方程通解为

9.4二阶常系数线性微分方程

一般形式：

将其转换成特征方程求解,下面进行分类讨论

（1）当时，存在两个相异实根，且

      ，    这时两个特解为

      和     所以通解为

（2）当时，存在两个重根，且 此时特解为

   所以通解为

（3）当时，存在两个共轭复根，且，其中，此时特解为，，则通解为