基本不等式基础题型总结

一、直接法：

求函数最小值.

【变式】求函数最小值.

总结：两道题的解法完全一样，对于此类结构的题目，我们不用担心其系数是多少，左右会出定值.我们可以把这种类似的倒数结构称为“基本不等式结构”.

二、配凑法：

若，则函数最小值为           .

【变式1】已知，求函数的最小值.

【变式2】已知，求函数的最小值.

【变式3】已知，求函数的最小值.

以上各题方法类似，最初在做题时觉得变式3会稍微难一些，多加练习计算时细心一些即可.

三、换元法：此方法可以解决题型二中所有题目，尤其是变式3，可以把配凑的思路简单化.此方法适用于分式结构中分母稍复杂的情况.

已知，求函数的最小值.

求函数的值域.（注意换元之后新元的取值范围，以及基本不等式应用过程中“一正二定三等”的三条原则.）

四、代换法：

已知，，且，求的最小值.

【变式1】已知，，且，求的最小值.

【变式2】已知，，且，求的最小值.

【变式3】已知，，且，求的最小值.

【变式4】已知，，且，求的最小值.

【变式5】（天津09年高考6）设若的最小值为   （    ）

A  8        B  4        C 1       D

一类需要注意的问题：取等条件是否满足

有同学在用基本不等式做题时，做到出定值这一步时会非常欣喜，但往往由于忽略了取等条件而出问题.

下列不等式：①；②（A是三角形内角）；③；④，其中恒成立的是（     ）

A.  ①②③  　 B.  ②③④  　 C.  ②③   　D.  ③④

 

第二篇：高一数学必修5不等式题型总结

含参数的一元二次不等式的解法

   

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按项的系数的符号分类，即;

例1  解不等式：

    分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

 解：∵

解得方程 两根

∴当时,解集为

当时，不等式为,解集为

当时, 解集为

    例2 解不等式

分析  因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解  

当时，解集为；当时，解集为

二、按判别式的符号分类，即；

例3 解不等式

分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。

解：∵  ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；

当或即,此时两根分别为，，显然,

∴不等式的解集为

    例4 解不等式 

    解 因，所以当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R。

三、按方程的根的大小来分类，即；

例5  解不等式

分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：，令，可得：，∴当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；

当或时, ,解集为。

例6 解不等式，

 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.

解 原不等式可化为：，对应方程的两根为

  ，当时，即，解集为；当时，即，解集为

一元二次不等式     参考例题（2）

1．(1)解不等式   （）

 (2)不等式的解集为，求的值.  （）

2．解下列关于的不等式：

  （1）              （2）

      

  （3）                     （4）

   

                    

（5）                            （6）        

   

  

                 

3．（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）

  （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）

4．（1）已知，

       ①若，求实数的取值范围.；（）

②若，求实数的取值范围.；（）

③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）

 （2）已知，，求实数的取值范围.

                                                                      （）

  (3) 关于的不等式与的解集依次为与，

若，求实数的取值范围.   （）

 （4）设全集，集合，若，

求实数的取值范围. （）

（5）已知全集，，

若，求实数的取值范围.（ ）

 一元二次不等式及其解法

1．二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．

2．二次函数的解析式的三种形式：

（一般式）；

（零点式）；

（顶点式）．

3．一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

4．解一元二次不等式的步骤：

(1)将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)；

(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；

(3)写出解集．

5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：

(1)注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边．

（2）函数在区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．

6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．

三、典型例题选讲

题型1：考查一元二次函数的性质

例1  函数是单调函数的充要条件是（    ）

A．    B．   C．    D．

解：∵函数的对称轴为，

∴函数）是单调函数，．故选A．

归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．

例2  已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．

解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，∵截轴上的弦长为，

∴过点和，又过点，∴，解之得，

∴．

归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．

题型2：简单不等式的求解问题

例3  求下列不等式的解集．

（1）；（2）

解法一：因为．所以，原不等式的解集是．

解法二：整理，得．

因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．

归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．

例4  不等式的解集为，求与的值．

解法一：设的两根为、，由韦达定理得：

    由题意得∴，，此时满足，．

解法二：构造解集为的一元二次不等式：

，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．

归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．

题型3：含参不等式的求解问题

例5  解关于的不等式．

证：分以下情况讨论

(1)当时，原不等式变为：，∴，即不等式的解集为

(2)当时，原不等式变为：　①   ①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式的解集为；②当时，①式变为．②，∵，

∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；当时，，此时②的解为．

当时，，即不等式的解集为．

归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：

分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．

题型4：一元二次不等式的应用

例6  （1）已知函数，则不等式的解集是（    ）

A．           B．

C．                 D．

解：依题意得

所以，选C．

（2）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_______．

解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，

成立，即，，故选A．

归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，

一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．

例7  已知函数的最大值为，求的值．

解：令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）．

综上可得，的值为或．

归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值．此题中要注意的条件．

例8  设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？

解：有两种情况：其一是=，此时＜0；其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设，有==，当＜0时，－1＜＜2，=；当=0时，=－1或2；当=－1时=；当=2时，=

当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程的两根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x₁＜x₂≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］时，的取值范围是(－1，)．

一元二次不等式解法应试能力测试

1．不等式的解集是(    )

A．   B．     C．   D．

2．设集合M＝{x|0≤x<2}，，则有M∩N＝(    )

A．{x|0≤x<1}     B．{x|0≤x<2}       C．{x|0≤x≤1}     D．{x|0≤x≤2}

3．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(    )

A．－1≤a≤0       B．－1≤a<0       C．－1<a≤0        D．－1<a<0

4．不等式的解集为(    )

A．{x|－2≤x≤2}       B．{x|x≤－2或x≥2}     C．{x|－2≤x≤2或x＝6}       D．{x|x≥2}

5．已知，，则A∩B的非空真子集个数为(    )

A．2         B．3        C．7         D．8

6．已知，，且A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，则p、q的值为(     )

A．p＝－3，q＝－4       B．p＝－3，q＝4      C．p＝3，q＝－4       D．p＝3，q＝4

7．若关于x的二次不等式的解集是{x|－7<x<－1}，则实数m的值是(    )

A．1       B．2       C．3      D．4

8．不等式ax<b与同解，则(    )

A．a＝0且b≤0      B．b＝0且a>0      C．a＝0且b>0       D．b＝0且a<0

1．不等式的解为_______________．

2．使函数有意义的x的取值范围是_______________．

3．已知，，若，则a的取值范围是_______________；

若，则a的取值范围是_______________．

4．关于x的不等式(a＋b>0)的解集是_______________．

1．为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？

2．解不等式．

3．解关于x的不等式(a>0)．

4．k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立．

参考答案

一、

1．D   2．B  3．C   4．C

5．A  提示：因为A∩B＝{3，4}

6．A  提示：因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是的两根，∴p＝－3，q＝－4．

7．C   8．A，提示：因的解为，只有a＝0且b≤0时，ax<b解为

二、

1．x<－5或x>5   提示：原不等式化为，∴|x|>5

2．{x|－3<x≤－1}  3．a>2，1≤a≤2 ，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，∵，∴a>2

4．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b)>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．

三、

1．设长方形较短边长为x cm，则其邻边长(10－x)cm，显然0<x<5，由已知，∴

∴．  2．当x≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为，即

解得：    3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0 ，∵a>0，∴，当a＝1时，，∴，∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则，∴，若0<a<1，则，∴．

4．∵恒正，∴不等式化为，即恒成立

∴⊿，∴，∴1<k<3．