高等数学极限方法总结

极限

摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法.

关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、

一.引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

二. 研究问题及成果

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）

（2）

（3）

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）

（2）；

说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.

（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限

成立的条件。

例如：，，；等等。

4．洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

～～～～～～。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价

关系成立，例如：当时，～；～。

定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；

（2）和都可导，且的导数不为0；

（3）存在（或是无穷大）；

则极限也一定存在，且等于，即= 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知为三个数列，且满足：

（1）

（2），

则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

二、求极限方法举例

1． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4

解：因为是函数的一个连续点，

所以原式= 。

2． 利用两个重要极限求极限

例5

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6

解：原式= 。

例7

解：原式= 。

注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x→0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。

3． 利用定理2求极限

例8

解：原式=0 （定理2的结果）。

4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).^[3]

设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．

常用等价无穷小：当变量时，

．

例1 求．

解，

故，原式

例2 求．

解 ,因此:

原式．

例3 求．

解，故:原式=．

例4 求．

解 ,故:

原式．

例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．

解而左边，

故即．

5.利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.

洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.

洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 .^[1]

求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.^[3]

例12 （例4）

解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）

例13

解：原式= 。

例14

解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15

解：

例18

解：错误解法：原式= 。

正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19

解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

原式= （分子、分母同时除以x）

= （利用定理1和定理2）

注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2） 0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成 1 的形式；（3）的 0 次方， 0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这

样就能把幂上的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了，（这就是为什么只有 3 种形式的原因，）

6.利用极限存在准则求极限

例20 已知，求

解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设。对已知的递推公式两边求极限，得：

，解得：或（不合题意，舍去）

所以。

例21

解：易见：

因为，

所以由准则2得：。

7.直接使用求导的定义求极限

当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：

（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即；

（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.

例36 ，求.

解 .

例37 若函数有连续二阶导数且，，，

则 .

A:不存在 B：0 C：-1 D：-2

解 .

所以，答案为D.

例38 若，求.

解

8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分^[1]

例33 已知 ,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.

解由已知得:

（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.

在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立：；

（2）设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；

设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分：的步骤是：

首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；

其次，计算的近似值；

然后，求和，得的近似值；

最后，求极限，得.

例34 设函数连续，且，求极限 .

解 =

，

例35 计算反常积分: .

解 ===.

9.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限：

(1)如果

那么

若又有，则

（2）如果存在，而为常数，则

（3）如果存在，而为正整数，则

（4）如果，而，则

（5）设有数列和，如果

那么，

当且时，

例1

解：原式= 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2

解：原式= 。

例3

解：原式 。

三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

四. 结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。

[参　考　文　献]

[1] 同济大学应用数学系高等数学 1997

[2]　吉米多维奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.

[3]　陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.

[4]　同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高等数学中求极限的常用方法

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!

我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。

2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：《高等数学》极限运算技巧

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。

此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：《高等数学》极限运算技巧等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：《高等数学》极限运算技巧，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。