数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；

数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。

例：判断下列各组元素能否构成数列

（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)20##年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：…

数列①的通项公式是= （7，），

数列②的通项公式是= （）。

说明：

①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =；

 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1    2    3    4    5    6

项  ：4    5    6    7    8    9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

例：画出数列的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）1，2，3，4，5，6，…        (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …

(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, …        (4)a, a, a, a, a,…

（5）数列{}的前项和与通项的关系：

例：已知数列的前n项和，求数列的通项公式

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

例：等差数列，            

题型二、等差数列的通项公式：；

说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。

例：1.已知等差数列中，等于（    ）

A．15   B．30   C．31   D．64

2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

（A）667    （B）668     （C）669      （D）670

      3.等差数列，则为             为              （填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中       

  ，，成等差数列  即：  （）

例：1．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则 （   ）

A．             B．             C．             D．

2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（   ）

A．1     B.2     C.4     D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； 

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列 )

递推公式：

    例：1.如果等差数列中，，那么

（A）14              （B）21            （C）28                （D）35

2.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于(   )

A．13            B．35               C．49                D． 63    

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则=    

4.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为（   ）

（A）5          （B）6          （C）8         （D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（   ）

A.13项                B.12项              C.11项              D.10项

6.已知等差数列的前项和为，若            

7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则          

8．（98全国）已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项b_n；

9.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(    )

       C.        D.

10.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则                   

11．（00全国）设｛a_n｝为等差数列，S_n为数列｛a_n｝的前n项和，已知S₇＝7，S₁₅＝75，T_n为数列｛｝的前n项和，求T_n。

12.等差数列的前项和记为，已知

   ①求通项；②若=242，求

13.在等差数列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。

题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。

例：1.等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）

A.130              B.170               C.210             D.260

2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为             。

3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为        

4.设为等差数列的前项和，=         

5．（06全国II）设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

A．             B．               C．               D．

题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

是等差数列

②中项法：

是等差数列

③通项公式法：

是等差数列

④前项和公式法：

是等差数列

例：1.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

    2.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

4.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

5.已知一个数列满足，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

6.数列满足=8， （）

       ①求数列的通项公式；

7．（01天津理，2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，则{a_n}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列              D.既非等比数列又非等差数列

题型九.数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

    例：1．等差数列中，，则前            项的和最大。

   2．设等差数列的前项和为，已知

 

  ①求出公差的范围，

  ②指出中哪一个值最大，并说明理由。

3．（02上海）设｛a_n｝（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆＝S₇＞S₈，则下列结论错误的是（    ）

A.d＜0      B.a₇＝0      C.S₉＞S₅               D.S₆与S₇均为S_n的最大值

4．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是      

5.已知是等差数列，其中，公差。

（1）数列从哪一项开始小于0？

（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

6.已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

7.在等差数列中，，，求的最大值．

题型十.利用求通项．

1.数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？

2．已知数列的前项和则                                          

3.设数列的前n项和为S_n=2n²，求数列的通项公式；

4.已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式

5.（2010安徽文）设数列的前n项和，则的值为（  ）

（A） 15              (B)  16         (C)   49         （D）64

等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：。

一、递推关系与通项公式

1． 在等比数列中,，则       

2． 在等比数列中,,则  

3.（07重庆文）在等比数列{a_n}中，a₂＝8，a₁＝64，，则公比q为（  ）

（A）2          （B）3          （C）4          （D）8

4.在等比数列中，，，则=      

5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（   ）

A 33     B  72      C  84     D  189

二、等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.和的等比中项为(   )

                                

2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（    ）    

A．     B．     C．     D．

三、等比数列的基本性质，

1.（1）

（2）

（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.

（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列中,和是方程的两个根,则(     )

                              

2. 在等比数列，已知，，则=            

3.在等比数列中，

①求

②若

4.等比数列的各项为正数，且（    ）

       A．12       B．10     C．8     D．2+

    5.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，    （  ）       

A.             B.           C.              D.

四、等比数列的前n项和，

例：1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和         

2.已知等比数列的首相，公比，当项数n趋近与无穷大时，其前n项

和         

3.设等比数列的前n项和为，已，求和

4．（20##年北京卷）设，则等于（   ）

A．       B．       C．      D．

5．（1996全国文，21）设等比数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若S₃＋S₆＝2S₉，求数列的公比q；

6．设等比数列的公比为q，前n项和为S­_n，若S_n+1,S­_n，S_n+2成等差数列，则q

的值为               .

五.等比数列的前n项和的性质

若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.

例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为，若  =3 ，则   =        

A. 2       B.       C.          D.3

2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（   ）

A．83     B．108     C．75      D．63

3.已知数列是等比数列，且        

4.等比数列的判定法

（1）定义法：为等比数列；

（2）中项法：为等比数列；

（3）通项公式法：为等比数列；

（4）前项和法：为等比数列。

为等比数列。

例：1.已知数列的通项为，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

2.已知数列满足，则数列为 （   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（   ）

A.等差数列    B.等比数列    C.既不是等差数列也不是等比数列    D.无法判断

5.利用求通项．

例：1.（2005北京卷）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式． 

2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

四、求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列满足：， 求；

2.已知数列满足，求数列的通项公式；

    

     3.数列满足=8， （），求数列的通项公式；

4. 等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式

5. 已知数列满足，求数列的通项公式；

6. 已知数列满足 （），求数列的通项公式；

7. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；

8. 已知数列满足且（），求数列的通项公式；

12.数列已知数列满足则数列的通项公式=             

（2）累加法

1、累加法  适用于： 

若，则 

    两边分别相加得

例：1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2. 已知数列满足，求数列的通项公式。

3. 已知数列满足，求数列的通项公式。

4. 设数列满足，，求数列的通项公式

（3）累乘法

适用于：

若，则

两边分别相乘得，

例：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求。

3.已知， ，求。

（4）待定系数法   

适用于

解题基本步骤：

1、确定

2、设等比数列，公比为

3、列出关系式

4、比较系数求，

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例：1. 已知数列中，，求数列的通项公式。

2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________

3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足求数列的通项公式；

（5）递推公式中既有

  分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.（2005北京卷）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式．

2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

4.  已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

             

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

    公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时，

例：1.已知等差数列满足，求前项和

2. 等差数列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100,则n=（　　）

A．9      B．10       C．11       D．12

3.已知等比数列满足，求前项和

4.设，则等于（    ）

    A.   B.     C.     D.

2．错位相减法求和：如：

例：1．求和

2.求和：

3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：               

           

                          

数列是等差数列，数列的前项和

例：1.数列的前项和为，若，则等于（　）

A．1      B．      C．      D．

2.已知数列的通项公式为，求前项的和；

4.已知数列的通项公式为＝，设，求．

5．求。

6．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。

3.已知等差数列满足, .

(1)求数列的通项公式及         

（2）求数列的前n项和

5.设数列满足，

（1）求数列的通项公式

（2）令，求数列的前n项和

7.已知等差数列满足：，的前n项和

（1）求及

（2）令（），求数列前n项和

8．已知数列中，前和

①求证：数列是等差数列

②求数列的通项公式