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等比数列与等差数列概念及性质对比
1.数列的定义
顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列.
数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的.
数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数.
2.等差数列的定义
顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列.
这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质.
3.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是:an= a1+(n-1)d . ①
这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将an看作关于变量n的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具.
从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系.
4.等差中项
A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是:
,或2 A=a+b.
显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或)是判断三数a,A,b成等差数列的一个依据,并且,2 A=a+b(或)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
值得指出的是,虽然用2A=a+b(或)可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列a,A,b与等差数列b,A,a不是同一个数列.
5.等差数列前n项的和
等差数列前n项和的公式是:, ①
或 ②
公式①和②均可看作方程.事实上,公式①和②中均含有四个量,若知其中任意三个量的值,便可通过解方程的办法求一个量的值.若将前n项和的公式与通项公式结合起来看,共有五个量,通常知道其中的任意三个量的值,通过解方程组就可求出其余的两个量的值.
公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的,这可由教材中码放钢管的示意图得到印证.
公式②中的也可看作关于变量n的二次式(d≠0时),其图像是在二次函数:的图像上当x取1,2,3,…时所对应的那群孤立点.这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和的最大值或最小值问题提供了直观的背景.
6.等比数列的定义
顾名思义,等比数列就是“比值相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列,叫做等比数列.
和等差数列类似,这个定义也有两个要点:一是“从第2项起”,二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”.它们刻画了等比数列的本质.
7.等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是:an= a1qn-1. ①
这里,一方面,可将an看作是n的函数,另一方面公式本身也可视为一个方程.从发展的角度看,将公式①进行适当推广,便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质.
8.等比中项
G称作a与b的等比中项是指三数a,G,b,成等比数列.其数学表示是
,或 G2=ab.
显然,只有同两数才有等比中项;若两数有等比中项,若两数有等比中项,则必有两个,它们是一对互为相反数;一个等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
9.等比数列前n项的和
等比数列前n项和的公式是:
公式可视为一个方程,它含有四个量.若已知其中任意三个量的值,便可通过解方程求出另一个量的值.
公式
即.
从函数的观点看,Sn是关于qn的一次式,
因此点(qn,Sn)在直线上.
等比数列与等差数列概念及性质对比
1.数列的定义
顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列.
数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的.
数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数.
2.等差数列的定义
顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列.
这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质.
3.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式是:an= a1+(n-1)d . ①
这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将an看作关于变量n的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具.
从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系.
4.等差中项
A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是:
,或2 A=a+b.
显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或)是判断三数a,A,b成等差数列的一个依据,并且,2 A=a+b(或)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
值得指出的是,虽然用2A=a+b(或)可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项,但两者的意义是不一样的,因为等差数列a,A,b与等差数列b,A,a不是同一个数列.
5.等差数列前n项的和
等差数列前n项和的公式是:, ①
或 ②
公式①和②均可看作方程.事实上,公式①和②中均含有四个量,若知其中任意三个量的值,便可通过解方程的办法求一个量的值.若将前n项和的公式与通项公式结合起来看,共有五个量,通常知道其中的任意三个量的值,通过解方程组就可求出其余的两个量的值.
公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的,这可由教材中码放钢管的示意图得到印证.
公式②中的也可看作关于变量n的二次式(d≠0时),其图像是在二次函数:的图像上当x取1,2,3,…时所对应的那群孤立点.这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和的最大值或最小值问题提供了直观的背景.
6.等比数列的定义
顾名思义,等比数列就是“比值相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列,叫做等比数列.
和等差数列类似,这个定义也有两个要点:一是“从第2项起”,二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”.它们刻画了等比数列的本质.
7.等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是:an= a1qn-1. ①
这里,一方面,可将an看作是n的函数,另一方面公式本身也可视为一个方程.从发展的角度看,将公式①进行适当推广,便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质.
8.等比中项
G称作a与b的等比中项是指三数a,G,b,成等比数列.其数学表示是
,或 G2=ab.
显然,只有同两数才有等比中项;若两数有等比中项,若两数有等比中项,则必有两个,它们是一对互为相反数;一个等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
9.等比数列前n项的和
等比数列前n项和的公式是:
公式可视为一个方程,它含有四个量.若已知其中任意三个量的值,便可通过解方程求出另一个量的值.
公式
即.
从函数的观点看,Sn是关于qn的一次式,
因此点(qn,Sn)在直线上.
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