第二章  分解因式

一. 分解因式

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二. 提公共因式法

1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:

2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

三. 运用公式法

1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

2. 主要公式:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:   

补充：欧拉公式：

   

                     

    特别地：（1）当时，有

    （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。

3. 因式分解要分解到底.如就没有分解到底.

4. 运用公式法:

(1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.

(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

5. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

四. 分组分解法:

1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

     如:

2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

3. 注意: 分组时要注意符号的变化.

五. 十字相乘法:

1.对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解.

如:

2. 二次三项式的分解:

         

3. 规律内涵:(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

提公因式法

1. 把下列各式因式分解

    （1）

（2）

 2. 利用提公因式法简化计算过程

例：计算

 3. 在多项式恒等变形中的应用

    例：不解方程组，求代数式的值。

4. 在代数证明题中的应用

    例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。

5、中考点拨：

  例1。因式分解

  例2．分解因式：

题型展示：

  例1. 计算：

  例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因 式，求b、c的值。

 例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。

【实战模拟】

  1. 分解因式：

    （1）

    （2）（n为正整数）

    （3）

  2. 计算：的结果是（    ）

    A.                B.                       C.                   D.

3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。

4. 证明：能被45整除。

  5. 化简：，且当时，求原式的值。

公式法

【分类解析】

  1. 把分解因式的结果是（    ）

    A.            B.

    C.                D.

 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

    例：已知多项式有一个因式是，求的值。

3. 在几何题中的应用。

    例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

 4. 在代数证明题中应用

    例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

5、中考点拨：

    例1：因式分解：________。

例2：分解因式：_________。

题型展示：

  例1. 已知：，

    求的值。

 例2. 已知，

    求证：

 例3. 若，求的值。

【实战模拟】

  1. 分解因式：

（1）           （2）

（3）

2. 已知：，求的值。

3. 若是三角形的三条边，求证：

4. 已知：，求的值。

  5. 已知是不全相等的实数，且，试求

（1）的值；（2）的值。

分组分解法

【分类解析】

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

  例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（    ）

   

 例2. 分解因式

2. 在几何学中的应用

    例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

3. 在方程中的应用

    例：求方程的整数解

4、中考点拨

  例1.分解因式：_____________。

  例2．分解因式：____________

  例3. 分解因式：____________

5、题型展示：

  例1. 分解因式：

  例2. 已知：，求ab+cd的值。

  例3. 分解因式：

【实战模拟】

  1. 填空题：

   

2. 已知：

3. 分解因式：

4. 已知：，试求A的表达式。

  5. 证明：

十字相乘法

【分类解析】

  1. 在方程、不等式中的应用

  例1. 已知：，求x的取值范围。

例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

 2. 在几何学中的应用

    例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

，求长方形的面积。

 3、在代数证明题中的应用

  例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。

4、中考点拨

  例1.把分解因式的结果是________________。

例2.

    因式分解：_______________

5、题型展示

  例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（    ）

    A. 1        B. -1         C.        D. 2

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。

       求证：

 例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。

【实战模拟】

  1. 分解因式：

（1）         （2）

（3）

2. 在多项式，哪些是多项式的因式？

3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4. 分解因式：

  5. 已知：，求的值。

 

第二篇：因式分解知识点总结

一、  知识梳理

1.因式分解

  定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

              即：多项式几个整式的积

   例：

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

 （1）提公因式法：

      ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

      公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

         

例：的公因式是               ．

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把分解因式.

     解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。

        解：

例2：把多项式分解因式

解析：由于，多项式可以变形为,我们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）后,再将多项式写成积的形式.

解：

=

=

例3：把多项式分解因式

        解：=

 （2）运用公式法

     定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

  

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

      ②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

例1：因式分解

     解：=

例2：因式分解

     解：=

 （3）分组分解法（拓展）

      ①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；

例：把多项式分解因式

     解：==

      ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.

 例：将多项式因式分解

解：

=

 （4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法）

       方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数

             

          

        

   

例：分解因式                         分解因式

补充点详解                                     补充点详解

我们可以将-30分解成p×q的形式，              我们可以将100分解成p×q的形式，

使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6,              使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2,

q=5或q=-6,p=5。                              q=50或q=2,p=50。

所以将多项式可以分           所以将多项式可以分

解为                             解为

          5                                            2

                 -6                                           50

                         

3.因式分解的一般步骤：

       如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

二、  例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

【例 1】 分解因式：

        ⑴(为正整数)

⑵(、为大于1的自然数)

【巩固】    分解因式： ，为正整数.

【例 2】 先化简再求值，，其中，．

【巩固】    求代数式的值：，其中.

【例 3】 已知：，求的值.

【巩固】    分解因式：.

公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

一些需要了解的公式：