因式分解的方法(初中版)

     因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

1】提取公因式

 这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

例一：-3x=0

解：x(2x-3)=0

  =0,=3/2

这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

这对我们后面的学习有帮助。

2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：-4分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=2 ²，适用平方差公式a ² -b ² =(a+b)(a-b) ²

解：原式=(x+2)(x-2)

3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好是一次项b，那么可以直接写成结果

　例三： 把-7x+3分解因式.

　　分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

　　分解二次项系数(只取正因数)：

　　2＝1×2＝2×1；

　　分解常数项：

　　3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

　　用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

　　1 1

　　╳

　　2 3

　　1×3+2×1

　　=5

　　1 3

　　╳

　　2 1

　　1×1+2×3

　　=7

　　1 -1

　　╳

　　2 -3

　　1×(-3)+2×(-1)

　　=-5

　　1 -3

　　╳

　　2 -1

　　1×(-1)+2×(-3)

　　=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解 原式=(x-3)(2x-1).                               

总结：对于二次三项式+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=，把，排列如下：

　　 

　　  ╳

　　

　　

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式+bx+c的一次项系数b，即=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式x+c1与之积，即

　+bx+c=(x+)(x+).  

这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。

4】分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来

需要可持续性！

例四：

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

解：原式=

       =(x+2+y)(x+2-y)

总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

5】换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

  例五：分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=-2a+1

     =

回代

原式=

6】主元法

这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：

　　分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

　　原式=---------------------【主元法】

　　=---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

7】双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如的二次六项式

　　在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

　　例七：分解因式

　　解：原式＝0×1×＋ab＋＋a－b－2

　　    ＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）

　　＝（b＋1）（a＋b－2）

8】待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入

这时就要用到1】中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

例八：+x-2

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

我们可以把它当方程做，+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1

那么必有一因式为(x-1)

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）

所以另一因式为（x+2）

分解为(x-1)(x+2)

9】列竖式

让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。

要建立在待定系数法的方程法上

不足的项要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消

例九：分解因式

提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

那么该式分解为（x+1）(+2x-2)

因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

 

 

xy＋6－2x－3y

(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)

12x^2－29x＋15

x(y＋2)－x－y－1

5ax+5bx+3ay+3by

12a²b(x－y)－4ab(y－x)

(x－1)²(3x－2)＋(2－3x)       

x²－11x＋24                

y²－12y－28

x²＋4x－5                 

y⁴－3y³－28y²

蚊子与牛一样重

从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：

a²－2ab＋b²=b²－2ab＋a²

左右两边分别因式分解为：(a－b)²=(b－a)²

从而就有：a－b=b－a

移项，得：2a=2b,

即a=b

蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！

①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？

②讲这个例子的目的何在？

 

第二篇：初中因式分解基本方法

初中因式分解的基本方法

因式分解（factorization）

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

⑴提公因式法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①   平方差公式：. a²－b²＝(a＋b)(a－b)

②   完全平方公式： a²±2ab＋b²＝(a±b)²

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a³+b³＝ (a+b)(a²-ab+b²).

立方差公式：a³- b³＝ (a-b)( a²+ab+ b²).

③   完全立方公式： a³±3 a²b＋3a b²±b³＝(a±b)³

④   aⁿ-bⁿ=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m + b^m =(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)]  (m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

例： 分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

⑸十字相乘法

①   x²＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x²＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

这个很实用,但用起来不容易.

在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法.

例： x²+5x+6

首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.

一次项系数为1.所以可以写成1*1

常数项为6.可以写成1*6,  2*3,  -1*-6,  -2*-3　(小数不提倡)

然后这样排列

1    -     2

1     -    3

(后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可)

然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了)

我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧.

x²-x-2=(x-2)(x+1)

2 x²+5x-12=(2x-3)(x+4)

②   mx² +px+q型的式子的因式分解

对于mx² +px+q形式的多项式，如果a×b=m, c×d=q且ad+bc=p，则多项式可因式分解为(ax+ c)(bx+ d)

例：  分解因式7x² -19x-6

分析： 1 　-　－3

7　 -　　2

1×2＋（－3×7）= －19

解：7 x² -19x-6=(x-3)（7x+2）

⑸ 双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。

用来分解形如＋bxy＋c＋dx＋ey＋f 的二次六项式

在草稿纸上，将分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例：b＋＋－b－2分解因式

　　解：原式＝0×1×＋b＋＋－b－2

　　    ＝（0×＋b＋1）（＋b－2）

　　＝（b＋1）（＋b－2）

(7) 应用因式定理：

如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）= x²+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x²+5x+6的一个因式。

经典例题：

1.    分解因式 (1＋y)²－2 x² (1＋y²)＋x⁴(1－y)²

解：原式=(1＋y)²＋2(1＋y) x² (1－y)＋ x⁴ (1－y)²－2(1＋y) x² (1－y)－2 x² (1＋y²)

=[(1+y)+ x² (1－y)]²－2(1+y) x² (1－y) －2 x² (1+ y²)

=[(1+y)+ x² (1－y)]²－(2x)²

=[(1+y)+ x² (1－y)+2x] [(1+y)+ x² (1－y) －2x]

=( x²－x²y+2x+y+1) ( x²－ x²y－2x+y+1)

=[(x+1)²－y(x²－1)] [(x-1)²－y(x²－1)]

=(x+1) (x+1－xy+y) (x－1) (x－1－xy－y)

2.证明：对于任何数x, y，下式的值都不会为33

x⁵＋3x⁴y－5x³y²－15x²y³＋4xy⁴＋12y⁵

解：原式=( x⁵+3x⁴y)－( 5x³ y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)

= x⁴ (x+3y)－5 x² y² (x+3y)+4 y⁴ (x+3y)

=(x+3y)( x⁴－5 x² y²+4 y⁴)

=(x+3y)( x²－4 y²)( x²－ y²)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时，原式= x⁵不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立

(8)、 换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例：-2(x+y)+1分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用代替x+y

那么原式=

        =

回代

原式=

 (9)、求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x₁ , x₂ , x₃ ,……x_n ,则多项式可因式分解为

f(x)=(x- x₁ )(x- x₂ )(x- x₃ )……(x- x_n)

例8、分解因式2x⁴ +7 x³ -2 x² -13x+6

解：令f(x)= 2x⁴ +7 x³ -2 x² -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 1，-3，-2，1

则2x⁴ +7 x³ -2 x² -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

(10)、图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x₁ , x₂ , x₃ ,……x_n ，则多项式可因式分解为f(x)= (x- x₁ )(x- x₂ )(x- x₃ )……(x- x_n)

例：因式分解x³ +2 x² -5x-6

解：令y= x³ +2 x² -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

则x³ +2 x² -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

(11)、 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

（备注：这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数）

例：分解因式a² (b-c)+b² (c-a)+c² (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a² (b-c)+b² (c-a)+c² (a-b) = a² (b-c)-a(b² - c² )+( b² c- c² b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

(12)、 利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x³ +9x² +23x+15

解：令x=2，则x³ +9x² +23x+15 =8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x³ +9x² +23x+15 =（x+1）（x+3）（x+5）

(13)、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

将式子看成方程，将方程的解代入

这时就要用到(1)中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

例： + x- 2

 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

 我们可以把它当方程做，+x-2=0

 一眼看出，该方程有一根为x=1

 那么必有一因式为(x-1)

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）

所以另一因式为（x+2）

原式分解为： + x- 2 =(x-1)(x+2)

(14) 、列竖式法

原理和小学的除法差不多

要建立在待定系数法的方程法上

不足的项要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消

例：3+5-2分解因式

提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

解 原式=（x+1)(3+2x-2)

(15) 、解方程法

此方法是对分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用

设   

解得方程得 

∴

例：-x-1 分解因式

设   

解得方程得 

∴

※多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

③   分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

（1）                 （2）

（3）            （4）xy＋6－2x－3y

（5） （6）12－29x＋15

（7）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)        （8）x(y＋2)－x－y－1

（9）4＋4xy＋－4x－2y－3          （10）

（11）       （12）

（13）   （14）+2x-8  （15）+3x-10      （16）+x-6               （17）2+5x-3                         （18）+4x-2

（19）-2x-3                          （20）5ax+5bx+3ay+3by

（21）-+x-1                     （22）

希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~