高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何

平面的基本性质

公理1  如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2  如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3  经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

根据上面的公理，可得以下推论.

推论1  经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2  经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3  经过两条平行直线，有且只有一个平面.

空间线面的位置关系

                共面  平行—没有公共点

(1)直线与直线         相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

               直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面  直线不在平面内  平行—没有公共点

               (直线在平面外)  相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面   相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

异面直线的判定

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

线面平行与垂直的判定

 (1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.

③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.

(2)两直线垂直的判定

1.定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

4.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.

5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.

⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.

⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β.

⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.

⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.

⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.

④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.

(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.

(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.

存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

射影及有关性质

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.

(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.

和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.

(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.

当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；

当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.

(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.

空间中的各种角

等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围：0°＜θ≤90°.

(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

直线和平面所成的角

(1)定义  和平面所成的角有三种：

(i)垂线  面所成的角  的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(ii)垂线与平面所成的角  直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.

(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)取值范围0°≤θ≤90°

(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

二面角及二面角的平面角

(1)半平面  直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角  条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定义法

(ii)垂面法

(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.

②利用面积射影定理

S′=S·cosα

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.

③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.

空间的各种距离

点到平面的距离

(1)定义  面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

(2)求点面距离常用的方法：

1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段；

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.

3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.

4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.

直线和平面的距离

(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.

(2)求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.

空间几何体的三视图和直观图

1 三视图：

   正视图：从前往后       侧视图：从左往右         俯视图：从上往下

2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：斜二测画法（角度等于45或者135）

4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

空间几何体的表面积与体积

（一 ）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和

2 圆柱的表面积                         3 圆锥的表面积：

4 圆台的表面积  5 球的表面积

6扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径）

注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长

（二）空间几何体的体积

1柱体的体积                     2锥体的体积   

3台体的体积       4球体的体积  

 

第二篇：高中数学第九章知识点总结(精华版)--立体几何

高中数学第九章-立体几何

考试内容

平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
数学探索©版权所有www.delve.cn平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
数学探索©版权所有www.delve.cn直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
数学探索©版权所有www.delve.cn多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）会用反证法证明简单的问题．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
数学探索©版权所有www.delve.cn（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
数学探索©版权所有www.delve.cn（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn9（B）．直线、平面、简单几何体 
数学探索©版权所有www.delve.cn考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
数学探索©版权所有www.delve.cn平行直线．
数学探索©版权所有www.delve.cn直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn两个平面的位置关系．
数学探索©版权所有www.delve.cn空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
数学探索©版权所有www.delve.cn直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
数学探索©版权所有www.delve.cn直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
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数学探索©版权所有www.delve.cn（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
数学探索©版权所有www.delve.cn（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
数学探索©版权所有www.delve.cn（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
数学探索©版权所有www.delve.cn（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
数学探索©版权所有www.delve.cn（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．
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§09. 立体几何  知识要点

一、     平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.

4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）

二、     空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内

[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.

④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）

⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.

2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.

                                                （二面角的取值范围）

                                                （直线与直线所成角）

                                                （斜线与平面成角）

                                                （直线与平面所成角）

（向量与向量所成角

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.

是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. （或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面）

三、     直线与平面平行、直线与平面垂直.

1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

[注]：①直线与平面内一条直线平行，则∥. （×）（平面外一条直线）

②直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. （×）（平面外一条直线）

③若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）

⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

⑦直线与平面、所成角相等，则∥.（×）（、可能相交）

3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.

l  若⊥，⊥，得⊥（三垂线定理），

得不出⊥. 因为⊥，但不垂直OA.

l  三垂线定理的逆定理亦成立.

直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）

5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]

⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上

四、     平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.

[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.

两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，

因为则.

6. 两异面直线任意两点间的距离公式：（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有）

7. ⑴最小角定理：（为最小角，如图）

⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）

简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.

成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.

成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.

成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.

五、     棱锥、棱柱.

1. 棱柱.

⑴①直棱柱侧面积：（为底面周长，是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

②斜棱住侧面积：（是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

⑵{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.

{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.

⑶棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）

（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）

②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.

⑷平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.

[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）

附：                   以知⊥，，为二面角.

                       则①，②，③ ①②③得.

注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.

⑵棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.

⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）

ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.

简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令

得，已知

则.

iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.

iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.

3. 球：⑴球的截面是一个圆面.

①球的表面积公式：.

②球的体积公式：.

⑵纬度、经度：

①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.

附：①圆柱体积：（为半径，为高）

②圆锥体积：（为半径，为高）

③锥形体积：（为底面积，为高）

4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，

得.

注：球内切于四面体：

②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

六. 空间向量.

1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

注：①若与共线，与共线，则与共线.（×）  [当时，不成立]

②向量共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若∥，则存在小任一实数，使.（×）[与不成立]

④若为非零向量，则.（√）[这里用到之积仍为向量]

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量， ∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使.

（3）共面向量：若向量使之平行于平面或在内，则与的关系是平行，记作∥.

（4）①共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使.

②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）

注：①②是证明四点共面的常用方法.

2. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1).

注：设四面体ABCD的三条棱，其

中Q是△BCD的重心，则向量用即证.

3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令=(a1,a2,a3),，则

    ∥          

(用到常用的向量模与向量之间的转化：)

②空间两点的距离公式：.

（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线平面，，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.

II. 竞赛知识要点

一、四面体.

1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：

①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；

②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；

③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；

④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.

2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD.

3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.

（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有

①等腰四面体的体积可表示为；

②等腰四面体的外接球半径可表示为；

③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；

④h = 4r.

二、空间正余弦定理.

空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D

空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D

立体几何知识要点

一、知识提纲

（一）空间的直线与平面

⒈平面的基本性质  　⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．　⑵斜二测画法．

⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．

　⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．

　⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．

　⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．

⒊直线和平面平行     　直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．

⒋直线和平面垂直

　⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．

　⑵三垂线定理及逆定理．

5.平面和平面平行

两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．

6.平面和平面垂直

互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．

（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）

（三）夹角与距离

7.直线和平面所成的角与二面角

　⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平

　　面所成的角、直线和平面所成的角．

　⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．

　　　　　　②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．

8.距离

　⑴点到平面的距离．

　⑵直线到与它平行平面的距离．

　⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．

　⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．

（四）简单多面体与球

9.棱柱与棱锥

　⑴多面体．

　⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．

　⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、

　　正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．

　⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．

　⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．

10.多面体欧拉定理的发现

　⑴简单多面体的欧拉公式．

　⑵正多面体．

11.球

⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．

　⑵球的体积公式和表面积公式．

二、常用结论、方法和公式

1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；

平行四边形: A2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE  M，BF N,∠EAB=,∠ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成，设∠ABC=,则coscos=cos；

4.异面直线所成角的求法：

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

6.二面角的求法

（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

（4）射影法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

7.空间距离的求法

（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；

（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；

（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；

12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V柱体=Sh.其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

13.直棱柱的侧面积和全面积

S直棱柱侧= c  (c表示底面周长，表示侧棱长)         S棱柱全=S底+S侧  

14．棱锥的体积:V棱锥=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。

15.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；

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