《用数学归纳法证明不等式》参考教案 - 范文118

《用数学归纳法证明不等式》参考教案

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。

重点、难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程：

一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。

②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。

（1）学生思考讨论。

（2）师生总结： 1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。

二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。

(出示小黑板)

例1 观察下面两个数列，从第几项起a_n始终小于b_n？证明你的结论。

｛a_n=n²｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……

｛b_n=2ⁿ｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……

（1）学生观察思考

（2）师生分析

（3）解：从第5项起，a_n ＜ b_n ，即 n²＜2ⁿ,n∈N+（n≥5）

证明：（1）当 n=5时，有5²＜2⁵，命题成立。

（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立

即k²＜2^k

当n=k+1时，因为

（k+1）²=k²+2k+1＜k²+2k+k=k²+3k＜k²+k²=2k²<2×2^k=2^k+1

所以，（k+1）²＜2^k+1

即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知n²＜2ⁿ（n∈N+，n≥5）

学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k²+2k+1＜k²+2k+k；k²+3k＜k²+k²

②归纳假设：2k²<2×2^k

例2 证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)

分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，

即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

当n=k+1时，

│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│

≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│

=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│

≤│Sin kθ│+│Sin θ│

≤k│Sinθ│+│Sin θ│

=（k+1）│Sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1

③三角函数的两角和公式。

（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli）不等式:

如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）ⁿ＞1+nx

分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）

②哪个字母与自然数有关？ (n是大于1的自然是数)

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）²=1+2x+x²，右边=1+2x，因x²＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x²＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx．

师：现在要证的目标是（1+x）^k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．

生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）^k+1=（1+x）^k（1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）^k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

师：现将命题转化成如何证明不等式

（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．

显然，上式中“=”不成立．

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．

提问：证明不等式的基本方法有哪些？

生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．

（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）

生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．

（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]

=1+x+kx+kx²-1-kx-x

=kx²＞0（因x≠0，则x²＞0）．

所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．

生：也可采用综合法的放缩技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx²=1+（k+1）x+kx²．

因为kx²＞0，所以1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

（板书）将例3的格式完整规范．

证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）²=1+2x+x²＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，

即有（1+x）^k＞1+kx

当n=k+1时，

（1+x）^k+1=（1+x）（1+x）^k＞（1+x）（1+kx）

=1+x+kx+ kx²＞1+x+kx=1+（k+1）x

所以当n=k+1时，不等式成立

由①②可知，贝努力不等式成立。

（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）

三、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

四、课后作业

1．课本P53：1，3，5

2．证明不等式：

第二篇：高中数学第四讲《数学归纳法证明不等式》教案新人教A版选修4-5

第四讲：数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。

本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的试题需要先作等价变换。

例题精讲

例1、用数学归纳法证明

分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤

证明：

1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。

2°假设当n=k时，等式成立，

即。

那么，当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。

点评：

数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n₀时，结论正确，即验证P（n₀）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n₀）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n₀开始的所有自然数n都正确．

要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。

练习：

1.用数学归纳法证明3^k≥n³(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4

解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C

2.用数学归纳法证明4+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N

证明：

(1)当n=1时，4²^×¹⁺¹+3¹⁺²=91能被13整除

(2)假设当n=k时，4^2k+1+3^k+2能被13整除，则当n=k+1时，

4^2(k+1)+1+3^k+3=4^2k+1·4²+3^k+2·3－4^2k+1·3+4^2k+1·3

=4^2k+1·13+3·(4^2k+1+3^k+2)

∵4^2k+1·13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N^*时，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除.

例2、求证：．

分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。

用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

证明：

（1）当n=2时，右边=，不等式成立．

（2）假设当时命题成立，即

．

则当时，　

　

所以则当时，不等式也成立．

　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

点评：本题在由到时的推证过程中，

（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；

（2）应用了放缩技巧：

例3、已知，，

用数学归纳法证明：．

证明：

（1）当n=2时，，∴命题成立．

（2）假设当时命题成立，即

．

则当时，　

　所以则当时，不等式也成立．

　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．

点评：本题在由到时的推证过程中，

（1）不等式左端增加了项，而不是只增加了“”这一项，否则证题思路必然受阻；

（2）应用了放缩技巧：

练习：

1、证明不等式：

分析

1、数学归纳法的基本步骤：

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n₀的自然数n都成立.

2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

证明：（1）当n=1时，不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，即

那么，

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）（2）可知不等式对n∈N₊都成立．

2.求证：用数学归纳法证明．

证明：

（1）当n=1时，，不等式成立；

当n=2时，，不等式成立；

当n=3时，，不等式成立．

（2）假设当时不等式成立，即．

则当时，　

，

∵，∴，（*）

从而，

∴．

即当时，不等式也成立．

　由（1），（2）可知，对一切都成立．

点评：因为在（*）处，当时才成立，故起点只证n=1还不够，因此我们需注意命题的递推关系式中起点位置的推移．

3．求证：，其中，且．

分析：此题是20##年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法

证法一：用数学归纳法证明．

（1）当m=2时，，不等式成立．

（2）假设时，有，

则，

∵，∴，即．

从而，

即时，亦有．

由（1）和（2）知，对都成立．

证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．

∴当，且时，．

例4、（20##年江西省高考理科数学第21题第（1）小题，本小题满分12分）

已知数列

证明

求数列的通项公式a_n.

分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。

解：（1）方法一用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，∴；

2°假设n=k时有成立，

令，在[0，2]上单调递增，

所以由假设有：

即

也即当n=k+1时成立，

所以对一切．

（2）下面来求数列的通项：

所以

则

又b_n=－1，所以

．

点评：

本题问给出的两种方法均是用数学归纳法证明，所不同的是：方法一采用了作差比较法；方法二利用了函数的单调性．

本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．

练习：

1.试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等时，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

技巧与方法：本题中使用到结论：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而a^k+1+c^k+1＞a^k·c+c^k·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时， (a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)

＞(a^k+1+c^k+1+a^k·c+c^k·a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k·()=()^k+1

根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N^*都成立．

二.基础训练

一、选择题

1.已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )

A.30 B.26 C.36 D.6

解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1－(2k+7)·3^k

=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k^－²(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

二、填空题

2.观察下列式子：…则可归纳出_________.

解析：

(n∈N^*)

(n∈N*)

3.已知a₁=,a_n+1=,则a₂,a₃,a₄,a₅的值分别为_________，由此猜想a_n=_________.

、、、

三、解答题

4.若n为大于1的自然数，求证：.

证明：(1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

所以：对于n∈N^*，且n>1时，有

5.已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n;

(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

(1)解：设数列{b_n}的公差为d,由题意得,∴b_n=3n－2

(2)证明：由b_n=3n－2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+ )］

而log_ab_n₊₁=log_a,于是，比较S_n与log_ab_n₊₁的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)

①当n=1时，已验证(^*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

则当n=k+1时，

,即当n=k+1时，(^*)式成立

由①②知，(^*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，S_n＞log_ab_n₊₁,当 0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n₊₁

6.设实数q满足|q|＜1,数列{a_n}满足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n+1=－qⁿ,求a_n表达式，又如果S_2n＜3,求q的取值范围.

解：∵a₁·a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,

∴q≠0,a₂=－,

∵a_n·a_n₊₁=－qⁿ,a_n₊₁·a_n₊₂=－qⁿ⁺¹

两式相除，得,即a_n₊₂=q·a_n

于是，a₁=2,a₃=2·q,a₅=2·qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)

综合①②，猜想通项公式为a_n=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

(2)设n=2k－1时，a_2k－1=2·q^k^－1则n=2k+1时，由于a_2k+1=q·a_2k－1

∴a_2k+1=2·q^k即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a_2k=－q^k,则n=2k+2时，由于a_2k+2=q·a_2k,

所以a_2k+2=－q^k+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为a_n=

S_2n=(a₁+a₃…+a_2n_－1)+(a₂+a₄+…+a_2n)

=2(1+q+q²+…+qⁿ^-1)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

三.巩固练习

1. （06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分）

已知函数,数列{}满足:

证明:(ⅰ);(ⅱ).

证明: （I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…

(i).当n=1时,由已知显然结论成立.

(ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时

,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,

从而.故n=k+1时,结论成立.

由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.

又因为时，，

所以，综上所述．

（II）．设函数，．由（I）知，当时，，

　　　从而

所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0,

所以当时，g (x)>0成立.于是．

　　　　　　　故．

点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决

问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识.

2. （ 05 年辽宁卷.19本小题满分12分）

已知函数设数列}满足，数列}满足

（Ⅰ）用数学归纳法证明；

（Ⅱ）证明

分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力

（Ⅰ）证明：当因为a₁=1，

所以

下面用数学归纳法证明不等式

（1）当n=1时，b₁=，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即

那么

所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

所以

故对任意）

3.（05 年湖北卷.理22.本小题满分14分）

已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

（Ⅰ）证法1：∵当

即

于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式

（i）当n=3时，由

知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得

（Ⅱ）有极限，且

（Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

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