数学归纳法的分析探讨

谢立亚，兰州大学附属中学（甘肃　兰州　730000）

    数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法，也是中学数学的一个重要内容.多年以来，国内有众多的文章讨论数学归纳法是否是归纳法或者演绎法的问题[1]，对数学归纳法在中学数学中的教学亦产生了不小的影响.通过对国家高中数学课程标准[2]和普通高中课程标准实验教科书——《数学》以及与数学归纳法有关的一些文献学习和思考，笔者以为，以数学归纳法知识容量之大、方法精妙之极、思想维度之广、文化内涵之丰，单一地肯定或者否定它是什么方法，或许有失偏颇.尽管数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的技术手段和工具，数学思想又是数学中处理问题的基本观点，是数学基础知识与基本方法本质的概括，但由于数学方法与数学思想互为表里，都建立在一定的知识基础上，反过来又促进知识的深化提高和向能力转化，我们从数学方法与数学思想的结合点来探讨数学归纳法之表象与实质、形式与过程，将有助于更好地认识和理解数学归纳法，从而使其发挥更好的教育教学功能.本文认为，就“方法”与“思想”而言，数学归纳法主要体现了“归纳”、“演绎”、“递推”、“模型”，其中“归纳”是数学归纳法产生的基础，“演绎”是数学归纳法自身发展的推力，“递推”使数学归纳法从有限走向无限，而“模型”则使数学归纳法为人们所广泛应用.

    一、“归纳”是数学归纳法产生的基础

    我们知道，研究一般问题时，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从中归纳、发现一般的规律和性质，归纳思想指的就是这种从特殊到一般、从局部到整体的思维倾向.归纳思想也可以用符号语言来叙述为：对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类A，B，C，…，那么从研究A，B，C，…入手，概括得到对象P的属性.这与分类讨论思想是不同的，分类讨论在于获得对象P在各种情况下的结果，而归纳思想则取向于获得A，B，C，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质.数学知识的发生过程正就是归纳思想的应用过程.

    （一）数学归纳法最基本的数学思想来源于归纳

    （1）生活游戏：把许多砖块按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块砖倒掉，这时你如果推倒了第一块砖，后面无论有多少块砖，肯定全部会倒掉.

    （2）社会现象：中国家族姓氏传递有这样的特点，若下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓王，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓王.

    （3）主妇养鸡：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.

    （4）秃头问题：1根头发时是秃头；设k根头发时是秃头，n=k+1时，k根头发是秃头，多长一根头发也是秃头啦，所以k+1根头发时是秃头；从而n根头发时也是秃头.这显然是一个荒谬的推理.

    分析上述问题，可以看到：在一些条件的假设下，某件事情发生具有传递性.数学地思考问题，还可以看到：如果用k表示次数，那么第k次与第k+1次是“紧接着”的两次.然而“生活游戏”和“社会现象”中的“事件发生”为什么会传递？“主妇养鸡”、“秃头问题”中的“事件发生”为什么又传递不下去呢？如果用p来表示事件，用p（k）来表示第k次时的事件，进一步分析发现：“假设p（k）成立推得p（k+1）成立”的意义与“p是否为真”无关.如：  

    或许，古代“数学归纳法”就是在类似“生活游戏”、“社会现象”等这样道理的基础上抽象出来的也未可知.从数学史的一些情况[3]来看，近似于“数学归纳法”的方法在古希腊就有了运用.数千年来，随着人们对类似上述问题认识的不断深化，“数学归纳法”逐渐形成.人们归纳得到了一个正确命题——数学归纳法，但它的正确性并没有被证明而且是不可能被证明的.从这个角度讲，这是对“数学归纳法”体现归纳思想与归纳方法的一个基本认识，或许也是许多人叫它为数学归纳法公理、或者数学归纳法公设的原因.

    （二）数学归纳法的表现形式具有归纳的意味

    数学归纳法断言：设p（n）是与正整数n有关的命题.若

    （i）命题p（ ）成立；

    （ii）对所有大于等于 的正整数k，若p（k）成立推得p（k+1）也成立；

    由（i）、（ii）可知命题对大于等于 的一切正整数成立.

    用数学归纳法来证明一个与自然数n有关的命题p（n）时，证明的步骤如下：

    （i）验证当n取第一个值 时，命题p（ ）成立；

    （ii）假设当n=k（k∈N，k≥ ）时命题p（k）成立，由此推得命题p（k+1）成立；

    （iii）根据（i）、（ii）断定，对大于等于 的任意正整数命题p（n）成立.  

    （三）数学归纳法的结论也具有归纳的意味  

    我们不应忽视：从用数学归纳法证明一个与自然数n有关的p（n）的命题成立的步骤来看，一系列演绎推理实质上有无穷多个，结论也有无穷多个.数学归纳法把证明一个无穷过程的问题转化成只需要操作三步即可完成的有限过程，以有限的步骤来概括无穷多个结论，因而具有归纳特点，体现了归纳思想与归纳方法.

    所以，无论是其最基本的数学思想来源，还是其表现形式或者结论，数学归纳法都体现了归纳思想与归纳方法，可以说“归纳”是数学归纳法产生的基础.但是，由此而说“数学归纳法是归纳法”却是片面的；数学归纳法不是归纳法.数学归纳法与归纳法有本质的不同，归纳法的结构是似真的，而数学归纳法的结构是真实的.那么数学归纳法是完全归纳法吗？也不是，因为完全归纳法是需要研究每一个所涉及的对象，数学归纳法并没有逐个研究也不可能逐个研究，也就不符合完全归纳法的特点，所以数学归纳法也不是完全归纳法.

    二、“演绎”是数学归纳法自身发展的推力

    与归纳相对，演绎是指由一般到特殊的逻辑推理，数学知识的应用过程就是演绎思想与演绎方法的体现过程.数学归纳法也是如此.

    （一）数学归纳法可由皮亚诺归纳公理演绎而来

    1686年伯努利给出并使用了现代形式的数学归纳法.1838年德?摩根给了“数学归纳法”（mathematical induction）的名称.1889年，皮亚诺自然数的公理体系建立，提出皮亚诺归纳公理（公设）：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M.那么M是全体正整数的集合.数学归纳法与皮亚诺归纳公理的这种历史关系表明，后者是前者的“特例”.如果从数学理论体系看，皮亚诺自然数的公理体系建立后，数学归纳法才似乎找到了皮亚诺归纳公理为其理论基础，从而得到了广泛的确认和应用；而且皮亚诺归纳公理为数学归纳法提供了理论基础已普遍为人们所认可.就此而言，数学归纳法成为皮亚诺归纳公理的一个特定的解释，即数学归纳法是由皮亚诺归纳公理演绎而来的方法.

    （二）数学归纳法的过程是由演绎推理完成的

    演绎推理有着大家熟知的一般模式“三段论”，即以两个包含有一个共同词项的性质命题为前提，推导出一个性质命题为结论的推理形式.三段论推理的公理是：一类思维对象的全体是什么或不是什么，那么这类对象中的部分或个别对象也是什么或不是什么.由两个或两个以上的三段论所构成的特殊推理形式构成复合三段论，组成复合三段论的每一个三段论都必须遵守三段论的规则，否则只要其中任何一个三段论违反了规则，那么整个复合三段论就是无效的.如果它是以前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提的复合三段论，那它就是后退式的复合三段论[4].演绎推理的结论和前提之间的联系是必然的，只要前提真实并且推理形式正确，结论就必然真实.     

    形式或结果上含归纳之意，但本质上又是演绎，两种不同的思维倾向附着于一体，这正是数学归纳法的一个神奇魅力所在，也是辩证的统一.其实，归纳与演绎往往是“藕断丝连”.尽管归纳推理与演绎推理有着思维起点不同、前提和结论联系性质不同的区别，但演绎推理的一般性知识（大前提）来源于归纳推理的概括和总结，而归纳过程的分析、综合过程所利用的工具（概念、范畴）是归纳过程本身所不能解决和提供的，需要借助于演绎活动来完成；单靠归纳推理是不能证明必然性的，常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证，这说明归纳推理时也难舍演绎推理.正如恩格斯所说：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的.”互相依赖、互为补充，所以，数学归纳法是一种“归纳”为基础、以“演绎”为推力的独特的数学方法，是归纳与演绎的一个美妙结合.

    三、“递推”使数学归纳法从有限走向无限

    这里所说的“递推”是一种具有确定方向和一定程序的变换，通过它把一般性问题逐步归结为同类的已知的特殊问题（其含义比一般说的“化归”、“转化”狭窄）.比如，求数列通项常用的递推方法，就是从初始条件出发，利用“递推关系”（一般项与前一项的关系）而求得一般结果.数学归纳法也是体现了这种思想和方法.

    在数学归纳法中，人类运用“递推”，就把“归纳”与无穷多个“演绎”完美地结合在一起，仅用有限的步骤就“准确”、“清晰”地考察了所有对象，完成了从有限到无限的跨越.这不能不说是数学归纳法的又一个美妙神奇之处.

    四、“模型”则使数学归纳法为人们所广泛应用

    模型思想与模型方法就是借助于数学模型来处理各类问题.数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西.并且，研究手法也不是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论.所以，数学模型就是实际问题的简化和抽象，通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事[5].近些年“模型”已成为中学数学中一种极为重要而又普遍运用的思想与方法，高中数学课标教材起到了很好地推动作用.   

    总之，分析数学归纳法所体现的主要数学思想与数学方法，有助于比较全面、本质地加深对数学归纳法认识理解，使其更好地发挥教育教学功能.“从事数学教学工作的教师应当把握数学思想（史宁中）”.如果能使数学思想落实到学习和应用数学的思维活动上，“纵然把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里.”

 

第二篇：数学归纳法总结

【数学归纳法】

【数学归纳法的基本形式】

1. 第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

2. 第二数学归纳法（串值归纳法）

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

3. 跳跃数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?1,2,...,l时，P(1),P(2),...,P(l)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?1，命题P(n)成立。

4. 反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① P(n)对无限多个正整数n成立；

② 从命题P(n)成立可以推出命题P(n?1)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

如果命题P(n)对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：

Ⅰ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1时命题P(n)正确；

② 假如由P(n)不成立推出P(n?1)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

Ⅱ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1,2,...,r时，命题P(1),P(2),...,P(r)都成立；

② 假若由由P(n)不成立推出P(n?r)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

以上讨论的均是完全归纳法，不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算、观察、分析推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质。应用不完全数学归纳法时，必须用完全数学归纳法对结论的正确性予以证明。

【应用数学归纳法的技巧】

1. 移动起点

有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n?0也成立，而且验证起来比验证n?1时容易，因此用验证n?0成立来替代验证n?1；同理，起点也可以进行适当后移，只要后移的起点成立且容易验证。

2. 起点增多

有些命题由n?k向n?k?1跨进时，需要用到一些其他特殊点的性质，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点；增多起点也可以更好的观察出每一个n具有的统一形式，从而利用数学归纳法证明。

3. 选择适当的假设方式

归纳假设不要拘泥于“假设n?k时命题成立”，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法。

【典型例题】 例1：证明：n?5n(n?N)能被6整除。

例2：证明：对于一切自然数n?1都有2?2?n。

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例7：证明对任何正整数n,f(n)?n?3n?5都不能被121整除。 2