理科数学归纳法知识总结

一基本概念

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,

第一步是归纳奠基(或递推基础),

第二步是归纳递推(或归纳假设),

两步缺一不可

二 易错点

1.归纳起点易错

（1）n未必是从n=1开始

例 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为

点拔：本题的归纳起点n=3

（2） n=1时的表达式

例 用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1         B.      C.     D.

点拨  n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B

2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

例1 用数学归纳法证明：

错证：

（1）当n=1时，左=右=1，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，

则当n=k+1时，

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

3 从n=k到n=k+1增加项错误

例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立          B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立        D. n=2（k+2）时命题成立

点拨：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选

例2 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是          

点拨：求即可

当 n=k时，  左边，

n=k+1时，左边,

故左边增加的式子是，即

三 知识应用

用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

1 用数学归纳法证明等式

例1 用数学归纳法证明等式：

证明：（1）当n=1时，左==右，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即

则n=k+1时

当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

例2 用数学归纳法证明：

证明：（1）当n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．

（2）假设n=k时，等式成立，即：

则当n=k+1时．

当n=k+1时，等式也成立

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

2 用数学归纳法证明不等式

例1 用数学归纳法证明不等式

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=2，不等式成立

（2）假设当n=k时不等式成立，

即

则当n=k+1时

当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

注意（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；

（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；

（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面

例2．证明不等式 (n∈N)．

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，

即．

则当n=k+1时，

当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

3 用数学归纳法证明整除问题

例1 求证：能被6 整除.

证明：（1）当时，1³+5×1=6能被6整除，命题正确；

（2）假设时命题正确，即能被6整除，

则当时，

，

∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，

能被6整除，即当时命题也正确，

当n=k+1时， 命题也成立

综合（1）（2），命题对所有正整数都成立

例2 证明：能被整除

证明：（1）当n=1时，，能被整除；

（2）假设n=k时命题成立，即能被整除

可设（其中为次多项式）

则当n=k+1时，

能被整除

当n=k+1时， 命题也成立

综合（1）（2），命题对所有正整数都成立

4 用“归纳——猜想——证明”解决数列问题

例1 在数列中，，

（1）写出；（2）求数列的通项公式

解：（1）

，

，

猜想

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立

（2）假设n=k时猜想成立，即

则n=k+1时  

当n=k+1时， 猜想也成立

综合（1）（2），猜想对所有正整数都成立

例2  在数列中，，其中，求数列的通项公式

解：，，.

由此可猜想出数列的通项公式为.

以下用数学归纳法证明：

(1) 当n=1时，,等式成立.

(2)假设当n=k时等式成立，

即.

则当n=k+1时，

当n=k+1时， 猜想也成立

综合（1）（2），数列的通项公式

5用“归纳——猜想——证明”解决几何问题

例1．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

        

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=2²．

当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=3²．

由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=4²．

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n²．

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=2时，上面已证．

（2）设n=k时，猜想成立，即f (k)=k²，

则当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．

∴ f (k+1)=k²+k+(k+1)

         =k²+2k+1=(k+1)²

∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)²段圆弧．

当n=k+1时， 猜想也成立

综合（1）（2）知  满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n²段圆弧．

四 练习巩固

1.用数学归纳法证明：1(n²-1)+2(n²-2²)+…+n(n²-n²)=(n∈N*).

2.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=(n+1)·( n+2)·(n+3)(n∈N*).

3.当n>1，n∈N*时，求证：

4.用数学归纳法证明：(n∈N*)

5.用数学归纳法证明  49ⁿ+16n-1能被64整除(n∈N*)

6.用数学归纳法证明  mⁿ⁺²+(m+1)²ⁿ⁺¹能被m²+m+1整除(n∈N*)

7.在数列中，a_n>0,且S_n=1/2(a_n+)

(1)求a₁、a₂、a₃；

(2)猜测出a_n的关系式并用数学归纳法证明。

8.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….

(1)求a₁，a₂；(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

9.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n²-n+2个部分。

 

第二篇：高二理科数学期末知识总结(2-2,2-3)

高二第二学期理科数学总结

一、导数

1、导数定义：f(x)在点x₀处的导数记作；

2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度；

3、常见函数的导数公式:

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧ 。

⑨；⑩

4、导数的四则运算法则：

5、复合函数的导数：

6、导数的应用：

（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数（）；利用点斜式（）求得切线方程。

注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？

（2）利用导数判断函数单调性：①是增函数；

②为减函数；③为常数；

反之，是增函数，是减函数

（3）利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。

（4）利用导数最大值与最小值：

ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

（5）求解实际优化问题：

①根据所求假设未知数和，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出的范围；②求导，令其为0，解得值，舍去不符合要求的值；

③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）；

④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；

7、定积分

⑴定积分的定义：（注意整体思想）

⑵定积分的性质：① （常数）；

②；

③ （其中。（分步累加）

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

（熟记（），，，，，）

⑷定积分的应用：

①求曲边梯形的面积：（两曲线所围面积）；

注意：若是单曲线与x轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“—”

②求变速直线运动的路程：；

③求变力做功：。

二、复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z²≥0；

⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z²<0；

⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z₁= a + bi , z₂ = c + di (a,b,c,d∈R)，则：

⑴z ₁± z₂ = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z₁.z₂ = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；

⑶z₁÷z₂ =  (z₂≠0) （分母实数化）;

3．几个重要的结论：

；（3）；

（4） 以3为周期，且；=0；

（5）。

4．复数的几何意义

（1）复平面、实轴、虚轴

（2）复数

三、推理与证明

（一）．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

注：类比推理是特殊到特殊的推理啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结  论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

（三）数学归纳法

一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当取第一个值是命题成立；

⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

①       的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!，;

⑵组合数公式：（m≤n）,；

⑶组合数性质：；；

⑷二项式定理：

①通项：②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等（）；

②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数（）最大；若n为奇数，中间两项（第+1和+1项）二项式系数（，）最大；

③

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（取）。

五.概率与统计

⑴随机变量的分布列：

（求解过程：直接假设随机变量啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，找其可能取值，求对应概率，列表）

①随机变量分布列的性质：,i=1,2,…；   p₁+p₂+…=1;

②离散型随机变量：

期望：EX＝x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n +… ;

方差：DX＝ ;

注：；

③两点分布（0—1分布）：                      

               X     0       1       期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).

               P     1－p    p        

④超几何分布：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。

称分布列

 

       X     0            1        …      m

       P         …  

为超几何分布列， 称X服从超几何分布。

⑤二项分布（n次独立重复试验）：

若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。

⑵条件概率：

，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。

⑷正态总体的概率密度函数：式中（）是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；

⑸正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交啊啊啊啊啊啊啊啊；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；

③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑹，则

①  曲线的对称轴随的变化沿x轴平移，变大，曲线右移；

②       曲线高矮由确定：越大，曲线越“矮胖”， 反之，曲线越“高瘦”；

⑺标准正态分布，其中

注：P=0.9974 （原则）

⑻线性回归方程，其中，，