数学归纳法应用总结

     数学归纳法的应用

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

 (1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(    )

A.30                                   B.26                     C.36                            D.6

2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证(    )

A.n=1                          B.n=2                   C.n=3                          D.n=4

二、填空题

3.(★★★★★)观察下列式子：…则可归纳出_________.

4.(★★★★)已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.

三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*.

6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：.

7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.

(1)求数列{bn}的通项公式bn;

(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.

8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围.

参考答案

难点磁场

解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

= (3k2+5k+12k+24)

=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.

答案：C

二、3.解析：

(n∈N*)

(n∈N*)

、、、 

三、5.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3

=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)

∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立.

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.

6.证明：(1)当n=2时，

(2)假设当n=k时成立，即

7.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2

(2)证明：由bn=3n－2知

Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)

=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］

而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*)

①当n=1时，已验证(*)式成立.

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

则当n=k+1时，

,即当n=k+1时，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.

于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,

∴q≠0,a2=－,

∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

两式相除，得,即an+2=q·an

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)

综合①②，猜想通项公式为an=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a2k=－qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,

所以a2k+2=－qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为an=

S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)

=2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn)

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

 

第二篇：数学归纳法总结

【数学归纳法】

【数学归纳法的基本形式】

1. 第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

2. 第二数学归纳法（串值归纳法）

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?n0(n0?N)时，P(n)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?n0，命题P(n)成立。

3. 跳跃数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① 当n?1,2,...,l时，P(1),P(2),...,P(l)成立；

② 假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n?1，命题P(n)成立。

4. 反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① P(n)对无限多个正整数n成立；

② 从命题P(n)成立可以推出命题P(n?1)也成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

如果命题P(n)对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：

Ⅰ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1时命题P(n)正确；

② 假如由P(n)不成立推出P(n?1)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

Ⅱ 设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① n?1,2,...,r时，命题P(1),P(2),...,P(r)都成立；

② 假若由由P(n)不成立推出P(n?r)不成立；

那么根据①②可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。

以上讨论的均是完全归纳法，不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算、观察、分析推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质。应用不完全数学归纳法时，必须用完全数学归纳法对结论的正确性予以证明。

【应用数学归纳法的技巧】

1. 移动起点

有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n?0也成立，而且验证起来比验证n?1时容易，因此用验证n?0成立来替代验证n?1；同理，起点也可以进行适当后移，只要后移的起点成立且容易验证。

2. 起点增多

有些命题由n?k向n?k?1跨进时，需要用到一些其他特殊点的性质，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点；增多起点也可以更好的观察出每一个n具有的统一形式，从而利用数学归纳法证明。

3. 选择适当的假设方式

归纳假设不要拘泥于“假设n?k时命题成立”，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法。

【典型例题】 例1：证明：n?5n(n?N)能被6整除。

例2：证明：对于一切自然数n?1都有2?2?n。

n23?

例7：证明对任何正整数n,f(n)?n?3n?5都不能被121整除。 2

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