自学考试本科毕业论文

论文题目：数学归纳法及其运用

学校名称：桂林师范高等专科学校

专业名称：数学教育

准考证号： 030114300393

姓 名： 何东萍

指导教师： 李政

目录

内容摘要

一、 数学归纳法的由来

（一）数学归纳法的概念

（二）数学归纳法的命名

（三）归纳法的证明

二、数学归纳法的步骤

三、数学归纳法的几种形式

（一）第一数学归纳法

（二）第二数学归纳法

（三）倒推归纳法

（四）跳跃归纳法

（五）螺旋式归纳法

四、数学归纳法的应用

（一）数学归纳法在生物方面的应用

（二）数学归纳法在初等数学方面的应用

（三）数学归纳法在几何方面的应用

五、数学归纳法的变体

（一）从0以外的数字开始

（二）针对偶数与奇数

（三）递归归纳法

六、数学归纳法常见误区及注意

（一）易错例题

（二）数学归纳法需注意

文献参考

数学归纳法及其应用

班级:数学教育2班 姓名:何东萍 指导老师：李政

【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？

【关键词】 数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用；

一、数学归纳法的由来

在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。

（一）数学归纳法的概念

数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为:

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。

关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推

理方法叫做归纳法”。

数学归纳法，是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法。其既具有演绎法的特征，又具有归纳的特征，它是一种归纳公理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明法。

（二）数学归纳法的命名

从表面上来看，数学归纳法似乎是属于归纳推理，事实上却不是。因为:数学归纳法的证明过程，可以得出它总体上是由两个部分所组成的，第一是得出P

（1）为真，且P（k）到P（k+1）；第二是k=1，2，3，?，由其一得出对所有自然数n，P（n）都是成立的。这两个部分完成了用有限步来证明对无限多个数值都有命题P（n）为真的结论。证明之所以成立是因为阿皮诺公理中的归纳原理。由此可见，数学归纳法是属于演绎。

数学归纳法是演绎推理，这岂不是与其名称中有“归纳”二字想矛盾吗？一个方面，从证明中涉及自然数n的角度看，证明第（1）步是针对n=1进行的，这里的1是特殊的数，所以这一步是对特殊对象进行讨论的；第（2）步是以“n=k时命题成立”为出发点，以此来推导出“n=k+1时命题也成立”，k是代表从“n=k到n=k+1”的一般性递推。证明中对n的讨论顺序是“先特殊，后一般”，符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，同时也反映了人们发现规律的一般过程。另一个方面，人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，总结出正整数集合的元素具有无穷次递推的后继关系，并概括了这种规律，得出了正整数的公理。当然，实验中的“验证——发现——想象”对数学归纳法原理的产生是功不可没的，如果没有验证性的探索和归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生。数学归纳法所完成的认识过程中经历了两千多年的坎坷发展，直到十九世纪才获得“数学归纳法”这一美称。

（三）归纳法的证明

既然数学归纳法（mathematical induction）是一种重要的数学证明方法，我们利用它证明某些命题对于一切正整数的成立。正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单。大家都知道的，正整数1，2，3，?有无穷多个，数学归纳法用两个步骤是怎么完成对于这无穷多个情况的的证明呢？如果一个数、一个数地

去研究关于正整数的问题，那么解决问题是非常困难的，探究如何对正整数集合进行整体性描述。在这方面德国数学家康托尔（G. Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮亚诺（G. Peano,1858-1932）分别从基数和序数的角度作出重要贡献。皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，1891年他对正整数的有序性给出了严格刻画，也就是现在的皮亚诺公理。用现代的数学语言和符号可以把这些公理的意义简述如下：

①1是一个正整数。

②每个正整数a都有一个后继数(a+1)也是正整数。

③1不是任何正整数的后继数。

④若a与b的后继数相等，则a与b相等。

⑤设S是正整数集合N*的子集，若

（1）1属于S；

（2）当k属于S时，k的后继数（k+1）一定有也属于S，则S= N*。

这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征，我们主要注重公理⑤，公理⑤也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的方法，是数学归纳法的理论基础。简单的说数学归纳法，其实是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，是主要用来研究与正整数有关的数学问题，在中学数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

二、数学归纳法的步骤

一般地，数学归纳法证明“命题P对于全体正整数成立”的步骤为：（1）证明P对于1成立；（2）证明“若P对于k成立，则P对于k+1成立”。当完成（1）

(2)之后，即可推出：P对于全体正整数都成立。

数学归纳法的一般步骤为:假设有一个与正整数有关的命题P（n）。（1）当n=1时，命题成立。（2）假设n=k时，命题成立。借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。即这个命题对于一切正整数n都成立。

三、数学归纳法的几种形式

（一）第一数学归纳法

在教学书中讲的数学归纳法，我们一般称为第一数学归纳法。其步骤为:假设有一个与正整数有关的命题P（n）。（1）当n=1时，命题成立。（2）假设n=k时，命题成立。借用n=k命题成立，推出n=k+1，该命题也成立。即这个命题对于一切正整数n都成立。

这种方法的原理在于论证第一步是证明命题在n=1成立，这是递推的基础；第二步假设在n=k时命题成立，在证明k=n+1时命题成立，这是无限递推的理论依据，即可判断命题的成立是否能够从特殊推广到一般。

定理的证明

我们用反证法来进行对第一数学归纳法证明，对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于一切的正整数都是成立的。对于那些不成立的数所构成的集合Q其中必定有一个最小的元素a。因为命题对n=1是成立的，所以a不等于1， a>1，从而可得a-1是正整数。又因为a已经是集合Q中的最小元素了，所以a-1是不属于Q，当n= a-1时，命题是成立的，既然对于a-1成立，那么也对a也应该成立，这与我们的假设矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。证明完毕。

（二）第二数学归纳法

当递推要涉及到小于k的时候，第一归纳法就要给第二数学归纳法让道了，第二数学归纳法与第一数学归纳法的区别在于证明第二步，前者比后者能够更好的利用前面的命题所提供的条件，所以有些命题运用第二数学归纳法进行证明更为方便。

第二数学归纳法的步骤为:设P（n）是关于自然数的命题，（1）设P（n）在n=1时命题成立，（2）假设对于所有小于或等于k的自然数n，（k∈N*，k＞1）命题P（n）成立，即可推出P（n+1）也成立；即性质P（n）对于一切自然数n都成立。

（三）倒推归纳法

倒推归纳法也叫反向归纳法，倒推归纳法是由于在归纳递推运用反方向递推

而得名的。倒推归纳法是数学家柯西最先使用它证明了n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。

其步骤为：设P（n）是一个与自然数有关的命题。

（1）验证对无穷多个自然数n命题P（n）成立，（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）。

（2）假设P（k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P（k）成立， 即

命题P（n）对一切自然数n（≥n0）都成立。

定理的证明：

同样的，我们用反证法来进行证明。假设该命题不是对于一切正整数都是成立的，令M表示使命题不成立正整数的集合，那么M≠0，任取m∈M由条件（1）可知，必有正整数n＞m使得P（n）成立，由这样的正整数n构成的集合为N。由集合M≠0可知，必有最小的正整数a，显然，a＞1，由条件（3）得，P（a-1）成立，由a的取值得m-1＞a，但这与a是M中最小正整数矛盾。即假设不成立，原命题成立。定理证毕。

（四）跳跃归纳法

若命题中出现“间隔”时，我们不能简单的证明“k+1”了，若P(n)对自然数1，2，??n都是正确的命题，设n=k时，假设命题P(k)成立，可以推出P (k+l)成立，则P(n)对一切自然数n都成立。

（五）螺旋式归纳法

当有一些与自然数难以通过上面的数学归纳法来进行证明时，可以根据具体的情形加强命题，设计一个更具有一般性的新命题，通过对新命题证明来确定原命题的正确性。其形式为:设有两个与自然有关的命题P（n），Q（n），

（1）验证n=n0时P（n）成立；

（2）假设P（k）（k>no）成立，可以推出Q（k）成立，假设 Q（k）成立，可以推出 P(k+1）成立； 即命题对一切自然数n（≥n0），P（n），Q（n）都成

立。

四、数学归纳法的应用

（一）数学在生物方面的应用

例1：某生产队科学实验小组决定研究n（n?2）种害虫之间的关系，然后想去消灭它们，经实验，他们发现其中，任意两种总有一种吞食另一种，试证明可把此n种害虫排成一行，使得前一种可吞食后一种。

证明：假设ai（i=1，2，??k）表示第i种害虫，将它们排成a1，ak?1a2??ak其中前一种可吞食后一种，用ai＞ak?1表示可吞食，

（1）当n?2时，命题成立。

（2）设n?k时，（k?2），命题成立，

现在我们考虑的情况，在n?k的情形里，我们再加入一种害虫

（我nak?1。?k?1们将k?1种害虫分为两组，k种害虫为第一一组，剩下的一种害虫为第二组，由假设得，第一组k种害虫可排列成a1，a2??ak，使得一种可吞食后一种，再将第二组的一种记为ak?1加入。）有两种情况：

a1前面，即有《1》 若ak?1>a1则可将ak?1放在

ak?1>a1＞a2＞??＞ak。命题成立。

《2》 若a1＞ak?1，再将ak?1与a2放在一起比较，若ak?1＞a2，可将a2放在ak?1前面，这时有a1＞ak?1＞a2＞??＞ak，即命题成立，若a2＞

ak?1将重复往下比较，

经过有限次（k次）必有下列情形之一，ak?1＞ak?1＞ai问题解决。否则ak＞ak?1即置ak?1于ak之后，此时，必有a1＞a2??＞ak＞ak?1命题成立。综上所述，命题对n?k?1成立。从而对任意的自然数(n?2)成立。

（二）数学归纳法在初等数学方面的应用

例2：证明 n?5能够被6 整除

（1）当n?1时，1?5*1?6能够被6整除，命题成立。

（2）假设n?k时，命题成立；即k?5能够被6整除。当n?k?1时，有3k3n3

(k?1)3?5(k?1)?(k?3k?3k?1)?(5?5)?(k?5)?332kk3k(k?1)?6

因为两个连续的数的乘积k(k?1)是偶数，

所以3k(k?1)能够被6整除。即(k?5)?3k3k(k?1)?6能够被6整除，即n?k?1时，命题成立。证明完毕。

（三）数学归纳法在几何方面的应用

例3：用数学归纳法证明：凸n边形中的n个内角和等于（n-2）π。

证明：依题意，n≥3。

①当n＝3时，三边形的内角和显然等于（3-2）π=π，这是成立的； ②假设n=k时，k边形的k个内角和等于（k-2）π，则当k+1时，如图 可以在k+1边形A1A2~Ak-1AkAk+1中连续和一个三角形A1AkAk+1。明显的得出，k+1边形的内角和正好等于k边形的内角和与三角形的内角和。即 k+1边形a1,a2,~,ak-1,ak+1的内角和等于（k-2）π+π＝[（k+1）-2]π。

由①、②可得，n≥3的一切自然数n，凸n边形中的n个内角和等于（n-2）π。

数学归纳不仅在中学数学中有作用，在我们的基础学科??初等代数，几何，高等代数??发挥着其作用，总得来说，数学归纳法不仅贯穿我们数学的各门学

科，而且在我们的日常生活中也起着重要的作用。

五、数学归纳法的变体

数学归纳法常常需要采取一些变化来满足实际的需求，下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

（一）从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，只是针对所有等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果n=m(m≥b）成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n>2n”这一类命题。

（二）针对偶数或奇数

如果我们想证明的命题不是针对全部自然数，只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

奇数方面：第一步，证明当n=1时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

偶数方面：第一步，证明当n=0或2时命题成立。第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

（三）递归归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0，1，2，??m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，如果我们可以实现从k到k-1的递推，k=1，??，m的话，我们就可以应用归纳法得出对于任意的n=0，1，2，??m，原命题均成立。如果命题P(n）在n=1，2，3，??t时成立，并且对于任意自然数k，由P（k），P（k+1），P（k+2）??，P（k+t-1）成立，其中t是一个常量，那么P（n）对于一切自然数都成立。

六、数学归纳法常见误区及注意

在数学归纳法的证明中，我们不能缺少某一个步骤，缺一不可，换句话来说，

数学归纳法的两个步骤都是必要的，否则将不完整，甚至会出现结果错误。

（一）易错例题

用数学归纳法证明等式2+4+6+?+2n＝n2+n+1是否成立。

证明:设n＝k时成立，即 2+4+6+?+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+?+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

这就是说，n＝k+1时也成立，所以等式对任何n∈N*都成立。

评述:在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，这个结论是错误的，事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立换另一种情况，结果也是会出现类似的问题，假如我们只是验证第一步，而没有去验证第二步，虽然第一步，我们验证了为真，但因为无法进行递推，连P（2）是否为真我们都没有办法判断，更谈不上对一切的自然数n，命题P（n）的判断了。另外，在第二步的证明过程中。一定要用到归纳假设，否则，不是证明有错误，就是没对命题进行完整的归纳，只是徒有数学归纳法的“空架”的形式，实际上得出的结果并无法保证命题的正确性。

（二）数学归纳法需注意

1.抓住与题意中有关的量，构造不完全归纳及推测，设立好归纳假设。

2.注意考虑归纳基础取值范围。

3.在完成归纳递推的过程中，需要结合各推理方法与技巧，并运用好归纳假设。

4.为了能够运用数学归纳法，可以考虑对命题进行相应的转化或加强。 文献参考

 

第二篇：数学归纳法论文

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数学归纳法在恒等式中的应用

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毕业论文

数学归纳法在恒等式中的应用

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目  录

摘要………………………………………………………………………………………1

1.数学归纳法的定义概述…………………………………………………………………2

1.1常用数学证明方法……………………………………………………………2

1.2数学归纳法的定义……………………………………………………………3

2.数学归纳法的步骤……………………………………………………………………4

3.易错分析…………………………………………………………………………………5

   3.1弄不清到时的式子变化……………………………………………5

3.2运用数学归纳法时忽略了时的假设条件………………………………5

4.运用数学归纳法的典型例题……………………………………………………………5

5.中学数学中关于数学归纳法的用途……………………………………………………6

参考文献……………………………………………………………………………………  6

致谢…………………………………………………………………………………6

数学归纳法在恒等式中的应用

【摘 要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

【关键词】  归纳法   猜想   恒等式   证明方法

【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking.

【KEY-WORDS】  Induction; Suspicion; Identical equation; Proof

1

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

1  数学归纳法的概述

1.1  常用数学证明方法

数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学恒等式的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学方法大致有以下几种：

1.1.1演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法。

1.1.2归纳推理——由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理分为完全归纳法不完全归纳法两种。

1.1.3不完全归纳法——根据某类事物中一些事物具有某种属性，推出该类事物全体都有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法。

1.1.4完全归纳法——在研究了事物的所有（有限）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。(完全归纳法得出的结论是可靠的)。

1.1.5数学归纳法——数学归纳法是证明与自然数n相关命题的一种方法。

1.2 数学归纳法的定义

数学归纳法概念: 数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 常用来证明与自然数n有关的相关命题

2  数学归纳法的步骤

数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为:

(1) 证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确。

2

(2)假设n=k(且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k+1时命

题成立。

(3)根据(1) 、(2) 当k大于等于零 且  时 ,即p(n)正确。

运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)时 正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1), 而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可。

3  易错分析

刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析

3.1  弄不清到时的式子变化

  例1  用数学归纳法证明: ,从“”到“”左端需增乘的代数式为：

 A .      B.     C.      D.

错误解法：时，式子左端为，时，式子左端为     故选B。

分析：时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式。

正确解法：当时，左端为为从到连续整数的乘积。

3.2 运用数学归纳法时忽略了时的假设条件。

例2  用数学归纳法证明：时，

错误解法： (1)当n=1时，左边=， 右边=,等式成立。

(2)假设，时，等式成立。

即   则当时，

3

=

==

所以时，等式成立

综上所述 当时，成立

分析：在证明等式成立时，没有用到归纳假设

正确解法：

(1)当时，左边===右边，等式成立。

     (2)假设，时，等式成立，

====

所以时，等式也成立

综上所述，对一切，都成立。

数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法。

4  运用数学归纳法的典型例题

例3  用数学归纳法证明：

=，

分析：本题第一步的验证要取，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式

证明：(1)当时，右边===

==左边，等式成立

(2)假设当时，等式成立，就是

=.

==

4

点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1=。因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。

证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.

例4   求证:  

    证明:(1)当n=1时,等式左边=      右边= ,等式成立.

        (2) 假设时等式成立,即

成立，由(1)和(2)可知等式均成立。

5  中学数学中关于数学归纳法的用途

数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在中学数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看:(1)中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明. 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。(2)运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界,又可以受到推理论证的训练.对于一些用常规的分析终合法不好证明的题,用数学归纳法往往会得到一些意想不到的好结果 (3) 数学归纳法在进一步学习数学时会经常用到,因此掌握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下一个良好的基础.

6  结 论

数学归纳法主要是针对一些自然N的相关命题,所以在证明和自然数N有关的恒等式子中有着不可替代的作用,对于一些和自然数N有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征,如n=时的假设是第二步证明的“已知”步证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,证明

5

三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等，这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累,，总之要记住三句话：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写时莫忘掉”,这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法,也是中学数学的重难点之一,它在对于开阔眼界,训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明,进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中,在进一步学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可或缺的方法

【参考文献】

[1] 华罗庚 .数学归纳法 [M] 北京：科学出版社,2002.  12-15

[2] 王力，张宇.数学归纳法的教学[J].初等数学研究.2007, 23(9).120-123

[3] G·波利亚著. 涂泓、冯承天译.怎样解题 [M].上海:上海科技教育出版社,2007.15-18

致   谢

本篇论文虽然凝聚着自己的汗水，但却不是我个人智慧的产品，没有老师的指导和赠予，没有同学们和朋友们的帮助和支持，我在大学的学术成长肯定会大打折扣。当我打完毕业论文的最后一个字符的时候。涌上心头的不是我已经完成了毕业论文带给我的喜悦，而是源自心底的诚挚谢意。我首先要感谢我的指导老师冯全民，对我的构思以及论文的内容和论文格式书写不厌其烦的进行多次指导和悉心指点，使我在完成论文的同时也深受启发和教育！再次还要感谢数学与计算机系的黄顺发主任、方俊等老师对我的指导和教诲，在本次论文设计中，我从指导老师冯全民身上学到了很多东西。冯全民老师认真负责的工作态度，严谨治学的精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅，在理论和实践重点都给予我很大的帮助！我也在努力的积蓄着力量，尽自己最大的努力回报母校的培育之情，争取让自己在以后的人生中对社会产生积极的价值从而提升自己的人生价值！

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