1．设一个粒子的波动性用波函数描述，则模平方称为概率密度，

2．波函数的三个标准条件：单值,有限,连续

3．态叠加原理：如果和是体系可能的状态，则它们的线性叠加

                                            

也是体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。

4．薛定谔方程：

5．定态薛定谔方程   

若是一维，+=0

6．求解定态薛定谔方程的步骤：

(1).一般不同区域有不同的势函数,因此要分区域写出定态薛定谔方程.

 2).根据波函数的标准条件(单值,有限,连续),因此求解定态薛定谔方程. 并确定定态能级.

(3).将波函数归一化.

7．一维无限深势阱

设粒子作一维运动，势能函数为

1、   

 =

则有 

8．一维谐振子

一维谐振子的哈密顿量是

                    

则有

波函数是

          

 

9．算符: 代表对波函数进行某种运算或变换的符号

坐标算符

动量算符     

10．动量的本征函数

 

归一化条件

 

11．厄米算符的定义式

    

12．厄米算符的本征值都是实数

13．厄米算符的三个基本性质：实数性、正交性、完备性。

14．角动量算符

直角坐标系

 

角动量算符在球坐标中的表达式为：

 

15．

16．氢原子

波函数是

    

17．厄米算符本征函数是正交的

属不同本征值的本征函数相互正交

18．力学量的平均值公式

    若波函数归一，

 

19．坐标算符与动量算符的对易关系式

与的对易子

20．

21．测不准关系

设二厄密算符对易关系为：

 

22． 把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。

    选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，

     u₁(x),  u₂(x),  ...,  u_n(x),   ... 是 Q  表象 的基本矢量简称基矢。

波函数

 

是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。

由一个表象到另一个表象的变换是幺正变换.

23．在    表象中，算符用矩阵表示

 

算符    在自身表象中的矩阵为对角矩阵。

24．本征方程

 

求解本征值和本征矢

 

这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：

 

称为久期方程。求解久期方程 可得到一组λ 值

                      它们就是F的本征值。把求得的λi 分别代入式中就可以求得与这λi 对应的本征矢。

24． 求解定态薛定谔方程， 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分

 

一级微扰修正

  

 

 

简并态下，微扰

 

简并情况下能级的一级近似为

25．．自旋：每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则

                          S_z=±/2  

26．自旋算符必须满足

                                       

写成分量形式是

                             

由于在空间中任意方向的投影只能取±两个值。为方便起见，引入算符，令

                                                                        

即

 ， ，                   

而且

===1       

 

27．．泡利矩阵

                                                                       

                                                             

, ,                

相应地

,,             

28．全同粒子：

          静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒

子。例如，电子、质子，中子等

29．全同性原理：

           由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系

中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理

状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称

为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。

30．对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的

对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对

称的，

31.

 二电子自旋波函数：

 

 

第二篇：量子力学真题总结

12年量子

1.平面转子由角动量替代动量，解出来有

注意是?m(?)?，是随着m下标取值而不同的多个波函接下来将题给的状态用各个束缚态来进行叠加。叠加后各个态乘上演化因子得t时刻！带入求平均值公式知道指数项前后正负的消掉了，能量平均值不随时间改变。

给出转子，隐含周期性边界条件，由此边界条件引入量子化，直接可以严格解出各态。将题给态来进行可能态的叠加！

1im?

?m(?)?e，其中数。

21

来自于在一个周期内2对波函数积分的归一化。因为波函数的周期为2?，指数函数要满足这样的周期必然有m?0,?1,?2~~~，能量由

2?R2E

决定m?

?

2.坐标平移到对称区间，就得到了对称位势的?势垒问题。我们有基态为偶宇称，第一激发态为奇宇称，粒子本来就不在原点位置出现，故此时得到任何的和无势阱无异。

?

?

基态能量随着A的变化是正相关，要非负那哥哥先来解出能量为0得到的A，非负要求比此时的A大即可。

再利用基态偶宇称和坐标倒数在原点跳跃条件求得！

移动坐标，把移动成比较重要。

解?势垒以及一维无限势阱的基本功过后，结合宇称态就出来了。

先算能量为0的情况不易想到。

3谐振子的那个关于x,p作用到态上的升降关系记清楚，?x定义记清楚就得到这30分了！4.有算符的矩阵表示，只需设出波函数，先解本质值再带入解本征失，over了！5.先选力学量完全集，列出Hamiltonian时可以发现折合质量是??

两粒子作用，和氢原子在空间旋三重态。

表现形式差不多，直接带解。S与?在总角动量的平方运

m?，再考虑到对算上要注意关系，有S??

列出Hamiltonian的时候，要22

氢原子能级和基态要记熟。

自旋单态才可能存在束缚用折合质量代替方程中质量

态，那么再类比氢原子即可。束缚态要存在必须去除掉自6.一维束缚态无简并，直接带入微扰公式得能量一级修正为0！

代公式有波函数修正为

给出了Hamiltonian，特别是有时候在一维谐振子下，带微扰公式是一门技术直接得结果。

在波函数一级修正有了的情况下求二级修正的直接法要引起重视！

?f(k)??f(k)?f(n)

k?n

k

是一个关键哇！再利用

?k

k

k?1得到了

?n?n?i?(A?n)n

再带入能级二级修正公式

(2)(1)En?nH??n

?n的简明形式很厉害。

能量二级修正也是一样，注意

直接等于0的量

11年量子：

要完全穿透，可分区间列出波函数的解，波函数及其导数连续条件，完全透射条件可完全解出此时的k值那么我们就有了能量应取值。2.系统的Hamiltonian必须是厄米的，于是我们就简单地得出了?,?之间的关系，

粒子要想完全穿透势阱能量也必须要大于一个定植才可以！

在势阱中的波函数带有系数

ikx

两边的可直接设为eA,B，

解出方程为0的时候千万不能乱消去哦

能量取值必须满足n取整

看起来像一维谐振子，但是它又没说，只是给了个很fantastic的对易关系，一定就要从前面的条件往后边的条件上去套关系，聪明人的做法。

给出了一个条件，就要看到这个条件背后可以默默无闻地推导出来的其他结论。

哈氏量必厄米，题眼！厄米后公式归纳整理！

把粒子数表象的本征失写出来

H?(a??)(a??)???

???

?

??

*

?

*

??e

??2/2

?

n?0

?

?n

n!

我们用b,b来代替括号里面的，居然会有[b,b]这样类似于升降算符的性质。

?

??

再带入n中得En

3.作对易关系的矩阵元n[x,H]m，一次用Hm直接作用得Em,En，一个把H打开后来与x进行对易，就可以得到x以及p在此态下的关系

第二问的求和利用这个关系带入即可！4.转子不说了，20xx年第一题

5.先归一化得出系数A！自旋朝上就是波函数取得上方那个的概率～！

总自旋z分量z??Lz?Sz?，Lz?Sz整体作用后面态！6.由于是变分法，就大胆地把波函数，算符都换成矩阵形式，带进去有关于两个参数的表达式。

通过两个参量来约束波函数，来使得取得这样的波函数的态为最低能量的本征态。当然这是最低能量，前面对应的是H0于是他就是基态，本征失也是基态。

?

?

?

?

???

对易分两条路走殊途同归可以得到

nxm与npm

??

之间的关系，也就反映了他们

的内在关系！

态失写成那种形式就是在Sz表象中的意思！

注意后面整体作用得本征值！记得带上?啊！

变分法的核心是找到这个Hamiltonian的平均值，是在平均值下通过变分关系找到波函数，以及能量的近似解。要求能量，算出的变分参数的值还要带回到表达式中。计算真的是要看能力，基本功，多练习啊，小伙子！

对两个参量的微分都为

0，哥们得到个方程组。解的参量的值，带入表达式得到基态能量值！

10年量子;

在区域内将波函数?n(x)解出来，将现有的波函数表示成它的叠加。按时间因子演化即可！2.粒子完全透射，同11年第一题

3.先归一化，看系统是处在Y00还是Y11态。要是在Y11中的话，取得?,0?,??的概率分别为a1,a0,a?1。Lx在Lz的本征态下平均值为0，有第一个关于a的方程。Lx与Ly平权可以得到第二个关于他们平方的方程。解之得！

4.先将整个波函数用箱归一，自旋自由度和空间坐标自由

度是相互独立的。自旋我也可2

，然后针对N?N12?N2

以不把它叫上下，叫黑白也可

题目求得在各个微元概率以，阿猫阿狗也可以！

??

只存在奇宇称态，n?1,2,3动量平均值计算的时候注意

弄成只取复共轭的形式！简单的态叠加原理的运用！先列出可能有三个值，

再分清在哪个态下取值概率，再进入到态里面去分析。平权又是一个好家伙，在本征态下平均值为0值得注意，书上有证明。

在(r,r?dr)里面的概率是它不积分，对所有的角度积分，立体角微元中，就是对所有径失积分(0,??)

?

?

5.有了Hamiltonian的矩阵，

我们直接先求本征值，再带入求本征失。初始时刻态叠加，随演化因子演化，能量期望值不随时间而变。随后运动中自旋取到负z的概率用复共轭积分法即可6.1进行变量代换，

自旋就是这么神奇，它可以先沿着正向后来随时演化到负。并且在演化过程中伴随有角动量量子化，分量量子化的特性。这是自旋的特殊性质，故自旋不能直观显化地理解。微扰项给得这么巧，从它的样子我们都可以看出有轮换关系。

这种每个态沿各自的演化因子演化的，在求能量平均的时候时间因子都要消去，故能量平均值不随时间改变。要沿负轴的概率，我们就来到

Sz表象，带波函数算就是了

数理方法的变量代换是关键。化成独立的谐振子后能量直接相加，波函数进行相乘。

?2?2?2?2

可?2?2?22

?x?y?x1?x2

以组成两个独立的谐振子

6.2微扰法，先得能量表达式。两个独立的谐振子，总的波函

数都是两个直接相乘的形式，

?,00?0，再把H00

那么在微扰中就可以分开来各自和各自作用。?

?xny,00????nx,1?ny,1，Hn

最神奇的是，发现只有两个态2

后面就可以带微扰公式了的系数都等于零的时候，微扰

Hamiltonian才有非零值

这么大一坨，敢不敢写也是一个关键。像?11

(0)

这种可以直接表出

来的项我可以直接用。警惕一维谐振子的微扰，应该是多数时候都只有一项。

09年量子：1.给出Hamiltonian求守恒流就是直接取复共轭然后相减那些简单招术。

题中说的守恒流就是几率流，因为它守恒啊!2.先列出含有?函数的薛定谔方程，然后E?0，游离态小于则是束缚态，看题中要求只讨论束缚态。再按照?函数势阱的一般方法，奇宇称在x?0的边界条件死去。3.波函数相乘，能级相加，简并度为N?1想也想得到。宇称为(?1)，基态为偶。4.用拉通了的位力定理可以求得?r

?1

N

??(??)???????2?????2

要用到一阶导的跃变，你知道

的撒！

解出来的能级是一个常量，我应该记得波函数的形式。

?函数的一切问题弄熟练，

这个题就是喳喳！

二维各向同性，整体的可观测量对外表现出一致的性质。如能级，宇称等等可以让他看上去是一个整体。

位力拉通第一哥，

海尔曼加角动量本征为二哥，对于三弟，我们先有能量本征方程，同时对r求偏导，移项且仍有本征方程，于是得到

一维谐振子是重中之重，一定能够要把它里面的东西都挖熟，来龙去脉！

位力定理，海尔曼定理要熟了又熟，超级熟，这是基本。对于Hamiltonian变换到球坐标形式，有角动量可以得其平方的本征态也要熟啊熟啊啊！对本征方程求导，再来求平均值应该是个主要方法。这样的构造可以得出新的关系式，特别是在某个量的本征方程里面最好用这个。

要牢记这三个次方项的平均值计算过程！

题给的文字条件，我要想方设法把它转化成数学表达式！这个还算轻松的，直接设波函数，矩阵我们是有的，解出来就是我的乖乖！

?。

将H中的动能项分解到球贝塞尔函数中，分离出角动量的本征值为l(l?1)?，且它的下方是r，所以可以直接海尔曼定理对l偏导有

2

2

n

?H

?n?0大神级方?r

?3

程，拼命构造的?r?。

n

?H

且由于?n?0，

?r

?3

好像拼了命也最多能构造到这一步了，以后哦至少就要平了命构造到这。

是对r偏导，得到了?r?

自旋作为一个新的自由度，它在三维空间的投影当在某两

接设出来，按照题里面说的，个同性的方向平均值都是零

的时候，就必然沿着这两个方

Sx,Sy直接矩阵表出来算平

向叉乘后的方向！

均值可以得到方程，解出值就必然沿着z方向！这是简单来就是要么正向要么负点说。5.把现在的态在Sz表象中直6.一维谐振子，波函数有。求能量的一级修正只需要

一维谐振子，小于四次x的可以带那个贱人公式进去慢慢算，高于的直接积分。能级修正都和

积分值得总结！

nH?n，这里我们把波函

数直接带成解析形式弄进去积分还要方便点。

微扰要适用，修正不能超过能级间隔，即小于??，如要更高能级的修正，?更小

?

成正比，值4?

?

得研究，量纲吗？再算第二激发态将得到什么？

?e

?x2

dx?

08年量子：1.几率流密度守恒推2.在动量空间重复几率流密度的推导，细心计算你会发

用一个力f去拉一个粒子，在动量空间我们看到的就是

????

关系的建立，几率流,?t?p

其他的还可以什么对易关系的平均值啊，本征方程求导再平均啊，对易殊途同归啊！一维谐振子，经常可以合零化整。普通物理里面，两个弹簧都可以合零化整，态牛逼神奇了！

????现，解一阶微??f密度是一个不错的选择！

一个以速度f传播的一个?t?p

分方程可以得到个波包3.1将电场势能表达式里面的

x拿到谐振子的二次项里面去，合并成一个x??x?x0的关于x位移，并不改变能级的量，后面还减去一个常量。

波包，坐标为p的。要是在坐标表象呢？

对于谐振子，x方向加上电场后对于谐振子的能级是有一

q2E2

个整体减少量，为，

2??2

原谐振子只是平衡位置偏移

4.波函数相乘能级相加，考虑自旋带入?(Sz)，简并度乘25.(σ?A)(σ?B)?A?B?iσ?(A?B)，这个公式要会证，也就是体会了点乘叉乘的要义。也可以先在一个方向上证明一些之间具有的代换性质，然后再三个方向轮换得到整体的表现形式。

前面求出来了有(σ?L)?L??(σ?L)，然后有耦合后角动量和未耦合之间关系?(σ?L)?J?L?S，其中耦合后的态j(l)mj是J,L,S的共同本征态，其本征值你懂的！其中j?l?1/2,j?l?1/2将引出两个不同的结果6.有了波函数和Hamiltonian，直接通过积分来求得?H?然后取得变分极值

2

2

2

2

2

2

2

2

12

为什么不能直接带σ?L进去

其中Sz是变量，取?得本征值？

因为σ?L的本征态是未耦合的态，是nlm

所以在做这种题的时候，一定要确认了是本征态，才能够得本征值

有空的话，把j(l)mj记下来，书上有，形式较为对称。

奇函数在对?势阱中居然可以用谐振子此题积分是关键：基态波函数作为试探解！变分参数?取在x前方值得

探究

称区间积分后为0

?

?axe?dx?

2

?

a

??

07年量子：1.简单的有一定概率透穿，算穿过的粒子数目2.对于势能项作用在不同表象波函数我们有：薛定谔方程的表象变换就是V(i??p)?(p,t)?V(x)?(x,t)，

把力学量算符的各个表象表示带到方程中去就可以了。于是

薛定谔方程的表象变换就是

函数变，然后力学量的表象变当然不能忘了

F(r)???V(r)

(i??p)2

?2

??(p,t)?

?r2

?2

(x,t)，于是V(r)?

?r2

?2

唯一考点，要证明对易，反对易的，我们针对的是得到任意态??

3.要证明反对易，我们是要证明对任意态都成立，那么先设

???cq?q，再代算符得本征值

q

?c

q

q

q都成立

4.把耦合后的态表示出来，就

是那四个。然后把题给的初始态用耦合后的态来进行叠加，且他们都是本征态

他说了可区分就区分吧，一般全同粒子是不可区分的。一上一下的时候，Sz始终是等于0的哦，S倒还可以有两个可能值，更说明了自旋不能按常规理解。

2

记清楚自旋耦合态本征值一般都是要带?的

5.由于力学量r不显含时间，故要证明它为守恒量只需证明它与Hamiltonian对易即可！6.n,l的取值有两种组合，在

谐振子要是受到L?S的耦合微扰势，之前的12重简并在不同的耦合角动量的关系下分裂，因为耦合后j有三个取值，那么能级就要分裂成3堆.

分清耦合前后的力学量完全集

l?2的组合中，m的取值有5个，故是5重简并。l?0时

非简并，那马加上自旋乘以2整体表现出12重简并。

为求微扰引起的能级分裂，只要在N?2的子空间将H?对角化。现在就要回到耦合基上来。

l?0时，j??

1

不能取，2

why？

为什么左右态失夹着力学量相乘后就得到了对角化的矩阵？

06年量子：先列出各个状态下的基失。然而在新状态下

啪啪，突然对称扩展或者不对称扩展，任意扩展嘛，t?0时候都有波函数连续，这和后边的一积分，后边的概率系数统统出来出来滴！

这种可分离时空变量的，能量平均值都不随时间改变。

?(x)的一般波函数表示为?n

的线性叠加，在t?0时刻有

波函数连续条件，于是

?(x),?1?，尼玛我cn???n

有了c1了，我就不相信你还求不出后来处于基态的概率

奇宇称和偶宇称的解有必要

分开写，也可以合并着写，你都要熟悉哦！

连续调节决定系数！

叠加之前的基失都要归一才可以。

概率应该是概率幅的模仿，说绝对值的平方你就听的懂了。

2.在动量和坐标表象中，他们平方的算符是具有完全对称的，考智商的题，人不气，心不乱，所以在各自的表象看到的对方是一样的。慢慢变，我一定有办法！

关于谐振子在这两个表象直

x21122

代换可以得到H?[??(2)p](??)2，那么可以接的变换，可以将H做成对称的形式，皇帝轮流做，你在看到x作为了动量空间中的p，那么Hamiltonian只是保持我的表象中是动量，我在你的

表象中也是动量。2

高度对称形式的大神的常数(??)倍，这样唯一付出的代价

变化的只是在两个表象中的频率变了，而且频率之间是有

1???

而且这个关系还和整就是现在的频率变为?p?2，那么我们带入??，关系的，

???体的质量?有关。得到??

2?2??

1

???

，?换?，p换x即可

2

关于能量，En?(n?1)???(??)?(n?1)??

唯一永远不改变是能量的不

变。可以说能量这些守恒量是和表象无关的，也可以带Hamiltonian的关系，记得乘以倍数就可以了

2

3.记清楚S?n的本征值，本征失，矩阵表示，各分量的平均值。??Sx?的定义。4.带电粒子在磁场中运动问题，特别处理。

5.一维谐振子在x的微扰势中，可以直接带积分算，这个我要算一下啊！！！也可以表为复杂的升降形式，带入谐振子中一般有En?0，En自己慢慢算。

(1)

(2)3

一维谐振子的二阶微扰项，居

然和n的取值有关，而且是二阶关系，后面变化明显。计算中找方法，求门路。

6.把四项都算出来，有对易在里面的那种算法，你懂的，什么求和等于1那些！

05年量子：2.求谐振子能级

是很基础的，后面看角动量

是否守恒，我们从最原始的

角动量的表达式出发，测得

各个分量仍然是之前的角动

量的线性叠加，并且这些角

动量不显含时间且与哈氏量

对易，那么守恒表达式可写

出

3.经典的态叠加问题，系数三维加电场，其他两个方向不管，加电场的那个方向和经典处理方法一样。要求角动量，咱们还是落到微观上来。作用后可以用之前守恒的力学量表示出现在的力学量，那么这就是守恒的，并且这种加电场仍有角动量守恒。加电场的海尔曼定理要掌握。究竟哪些量，哪些分量是和H对易的值得总结。32是我给别人解决过的问题，要记住。15

尤其记住动量平均值，以及动量不确定度这些怪东西，里面包含的意味似乎是只可意会不能言传的，这个要多练习，抓提高，学习老几的计算能力。

4.xl?多维的谐振子，只要彼此独x1?x2p?p2，在,xr?x1?x2,pl?p1?p2,pr?1

立，并且微扰势也可以是轮换22

这个变换的基础上，各种对易关系仍然满足，就可以合并了，的，那么就一定可以合并成独然后算出常数项系数立的谐振子，并有常数项。

5.注意到?100宇称为偶，而x

与px均为奇宇称算符，故他

们的平均值为0了。对于氢原子中任意的一个方向，我氢原子中各向同性极其重要，们看到位置的平均值是0的当然氢原子本身就极其重要！哦，动量平均值也是0的哦，这个神奇要记住啊！

?x2?，我们有x,y,z的各

向同性，大家都为1?r2?，3

对于px也是同样的结果。对

于?r?是得要用积分来计

算的。最终无论如何也是可

以验证不确定度关系的。

6.因为L与S互相独立，且都

与r对易，所以后面的[JxH]

直接等效到求在球坐标体系，或者任何体系，L与S的耦合并不影响到总角动量的守恒。算对易这种，我就老老实实一个个分量的来，不像他那样强求来整体，自己水平还不够，所以要多加油！@Tracy2

[Lx?Sx,LxSx]这样的高级

别对易上来，然而这个对易

根据各个分量综合后是等于

0的！