第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．

4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．

6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．

7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．

13、若等差数列的首项是，公差是，则．              

 通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．

14、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。

15、等差数列的前项和的公式：①；②．

16、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．

17、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．

19、若等比数列的首项是，公比是，则．

20、通项公式的变形：①；②；③；④．

21、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。

22、等比数列的前项和的公式：．

      时，，即常数项与项系数互为相反数。

23、等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

②．   ③，，成等比数列．

24、与的关系：

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为，q为相除后的常数，列两个方程求解；

2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为形式，可用等差数列的通项公式代入求解；

②若化简后为形式，可用叠加法求解；

③若化简后为形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）

3、由求和公式求通项公式：

①    ②   ③检验，若满足则为，不满足用分段函数写。

4、其他

  （1）形式，便于求和，方法：迭加；

例如：

有：

（2）形式，同除以，构造倒数为等差数列；

例如：，则，即为以-2为公差的等差数列。

（3）形式，，方法：构造：为等比数列；

例如：，通过待定系数法求得：，即等比，公比为2。

（4）形式：构造：为等比数列；

（5）形式，同除，转化为上面的几种情况进行构造；

因为，则，若转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若，则有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

②若，则有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：，等；

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型，这样可以相乘约掉。

 

第二篇：数列知识点总结

数列知识点总结                      

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数），

等差中项：成等差数列

前项和

性质：是等差数列

（1）若，则

（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；

（3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.    

当，由可得达到最小值时的值.

(6)项数为偶数的等差数列，有

，.

（7）项数为奇数的等差数列，有，

    ，.

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），.

等比中项：成等比数列，或.

前项和：（要注意！）

性质：是等比数列

（1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为.

注意：由求时应注意什么？

时，；时，.

3．求数列通项公式的常用方法

（1）求差（商）法

如：数列，，求

解 时，，∴                                     ①

时，                         ②

①—②得：，∴，∴

［练习］数列满足，求

注意到，代入得；又，∴是等比数列，

时，

（2）叠乘法

    如：数列中，，求

解 ，∴又，∴.

（3）等差型递推公式

由，求，用迭加法

时，两边相加得

∴

（4）等比型递推公式

（为常数，）

可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴

（5）倒数法

如：，求

由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴，

∴

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项分组法

     

 

. （2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

如：                              ①

                      ②

①—②

时，，时，；

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

两式相加可得：

［练习］已知，则     

由

∴原式

(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{a_n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

    b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和S_n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

    c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

   d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a_n·b_n}中，{a_n}成等差数列，{b_n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。

   e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a_n}满足a_n+1=a_n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a_n+1-a_n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a_n ，从而求出S_n。

f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。